Esercizi Schemi

[Davi901]

Ciao a tutti. Ho qualche problema a risolvere alcuni esercizi riguardanti la teoria degli schemi. Qualcuno potrebbe aiutarmi?

\( \text{Es.1} \) Sia $X$ uno schema il cui spazio topologico soggiacente è finito e discreto. Provare che $X$ è uno schema affine.
\( \text{Es.2} \) Sia \( f\colon X\longrightarrow Y \) un morfismo di schemi integri e sia $\eta\in Y$ il punto generico di $Y$. Dimostrare che se $\eta\in f(X)$ allora $f$ induce un'iniezione \( f^{*}\colon K(Y)\hookrightarrow K(X) \) fra i campi di funzioni.

Grazie mille!

[e3353cdc139f9576d1418ef5ef3cff2aac614a86]

Ciao,

sarebbe utile che tu esponessi un contesto e i tuoi tentativi. Stai parlando della geometria algebrica di Grothendieck? In tal caso ecco alcune idee:

Es 1. Per come è scritto capisco che per ogni numero naturale $n \geq 1$ basta trovare un anello con esattamente $n$ ideali primi, tutti massimali. Se $n=1$ basta prendere un campo. Ti lascio continuare.
Ho il sospetto che la questione sia un po' più complicata di così perché questa mia interpretazione dimentica la struttura di spazio anellato. Ci penso un po'.

Es 2. Il campo di funzioni è lo stalk nel punto generico. Quindi stiamo parlando di una proprietà locale, in altre parole potremo ragionevolmente ridurci al caso affine. Siccome $\eta \in f(X)$ allora esiste $x \in X$ con $f(x) = \eta$ e quindi preso un intorno aperto affine $U$ di $x$ possiamo considerare $f|_U$ e $U$ contiene il punto generico $\mu$ di $X$ per definizione di punto generico. Adesso che siamo ridotti al caso affine per concludere è utile provare a mostrare che $f(\mu) = \eta$.

Immagino che tu intendessi dire $f^{\ast}: K(Y) \to K(X)$ (il contrario).

[j18eos]

Esercizio 1. Detto \(\displaystyle\mathcal{O}_X\) il fascio strutturale dello schema \(\displaystyle X\); cosa puoi dire sugli anelli locali \(\displaystyle\mathcal{O}_{X,x}\) con \(\displaystyle x\in X\)? Da ciò, cos'è l'anello \(\displaystyle\mathcal{O}_X(X)\)? E chi è \(\displaystyle Spec\mathcal{O}_X(X)\)?

Esercizio 2. Se non ricordo male, usando le notazioni di Martino, l'uguaglianza \(\displaystyle f(\mu)=\eta\) è un facile esercizio di topologia.

[Davi901]

"Martino":Ciao,

sarebbe utile che tu esponessi un contesto e i tuoi tentativi. Stai parlando della geometria algebrica di Grothendieck? In tal caso ecco alcune idee:

Es 1. Per come è scritto capisco che per ogni numero naturale $n \geq 1$ basta trovare un anello con esattamente $n$ ideali primi, tutti massimali. Se $n=1$ basta prendere un campo. Ti lascio continuare.
Ho il sospetto che la questione sia un po' più complicata di così perché questa mia interpretazione dimentica la struttura di spazio anellato. Ci penso un po'.

Es 2. Il campo di funzioni è lo stalk nel punto generico. Quindi stiamo parlando di una proprietà locale, in altre parole potremo ragionevolmente ridurci al caso affine. Siccome $\eta \in f(X)$ allora esiste $x \in X$ con $f(x) = \eta$ e quindi preso un intorno aperto affine $U$ di $x$ possiamo considerare $f|_U$ e $U$ contiene il punto generico $\mu$ di $X$ per definizione di punto generico. Adesso che siamo ridotti al caso affine per concludere è utile provare a mostrare che $f(\mu) = \eta$.

Immagino che tu intendessi dire $f^{\ast}: K(Y) \to K(X)$ (il contrario).

Si intendo la teoria degli schemi sviluppata da Grothendieck.
Si ho sbagliato a scrivere il testo, ora è corretto (ops!)
Un'idea sul primo esercizio era di sfruttare la seguente proposizione:

Proposizione Sia $X$ uno spazio topologico che si può scrivere come unione disgiunta (finita o infinita) di sottoinsiemi aperti $X_i$ e sia \( \mathcal{F} \) un fascio di anelli. Allora esiste un isomorfismo \( \mathcal{F}(X)\overset{\cong}\longrightarrow \displaystyle\prod_{i}\mathcal{F}(X_i) \).

Siccome $X$ è discreto \( X=\{x_1,...,x_n\} \) e $\{x_i\}$ aperto e per la proposizione sopra avrei che
\( \mathcal{O}_{X}(X) \cong\displaystyle\prod_{i=1}^{n}\mathcal{O}_{X}(\{x_i\}) \) .
Osservo che \( \mathcal{O}_{X}(\{x_i\}) \) ha un solo ideale primo.
Forse a questo punto riesco direttamente a trovare un isomorfismo di schemi (ossia un isomorfismo di spazi anellati locali) tra
\( (\varphi,\varphi^{\#})\colon (X,\mathcal{O}_{X})\longrightarrow(Spec(\mathcal{O}_{X}(X)),\mathcal{O}_{Spec(\mathcal{O}_{X}(X))}) \)
....

Per il secondo ok. Ho capito il ragionamento. Grazie

[j18eos]

"Davi90":...Osservo che \( \mathcal{O}_{X}(\{x_i\}) \) ha un solo ideale primo...

Sì, e quindi cos'è? Puoi dire molto di più!

"Davi90":...Forse a questo punto riesco direttamente a trovare un isomorfismo di schemi (ossia un isomorfismo di spazi anellati locali) tra
\( (\varphi,\varphi^{\#})\colon (X,\mathcal{O}_{X})\longrightarrow(Spec(\mathcal{O}_{X}(X)),\mathcal{O}_{Spec(\mathcal{O}_{X}(X))}) \)
...

A ben vedere, e ben ricordare, devi trovare una funzione biettiva e continua[nota]Anche se per le ipotesi, la continuità la ottieni gratis.[/nota] \(\displaystyle\varphi\) così ottieni gratis \(\displaystyle\varphi^{\sharp}\); notando che i fasci \(\displaystyle\mathcal{O}_X\) e \(\displaystyle\mathcal{O}_{Spec(\mathcal{O}_X(X))}\) hanno gli stessi germi (o stalks) hai che \(\displaystyle\varphi^{\sharp}\) è un isomorfismo di fasci.

[e3353cdc139f9576d1418ef5ef3cff2aac614a86]

Come dice Armando, si tratta di studiare gli stalk.

Infatti un utile fatto riguardante i morfismi di fasci è che se $\mathcal{F} \to \mathcal{G}$ è un morfismo di fasci su uno spazio topologico $X$ allora esso è un isomorfismo se e solo se i morfismi indotti sugli stalk $\mathcal{F}_x \to \mathcal{G}_x$ per ogni $x \in X$ sono isomorfismi di anelli. [Curiosamente sembra che questo non implichi che i morfismi $\mathcal{F}(U) \to \mathcal{G}(U)$ siano isomorfismi in generale, ma non conosco un controesempio. Armando tu conosci un controesempio?]

Quindi bisogna costruire un morfismo di schemi $f: X \to Spec(\mathcal{O}_X(X))$ e mostrare che induce isomorfismi sulle fibre (dico 'fibra' e 'stalk' in modo intercambiabile ). E' relativamente facile (se vuoi, usando la proposizione che hai citato) vedere che $\mathcal{O}_X(X)$ è il prodotto diretto degli $\mathcal{O}_X(\{x\})$ che sono anelli non solo locali, addirittura con un unico ideale primo, e oltretutto poiché lo spazio è discreto si ha $\mathcal{O}_X(\{x\}) = \mathcal{O}_{X,x}$ e anzi

se $U$ è un aperto di $X$ allora $\mathcal{O}_X(U) = \prod_{x \in U} \mathcal{O}_{X,x}$.

Con questa informazione ti dovrebbe risultare facile costruire sia la mappa insiemistica $f: X \to Y = Spec(\mathcal{O}_X(X))$ che il relativo morfismo di fasci $\mathcal{O}_Y \to f_{\ast} \mathcal{O}_X$ dove $f_{\ast} \mathcal{O}_X(U) := \mathcal{O}_X(f^{-1}(U))$ (sono fasci su $Y$). Ricorda che si tratta di definirlo su tutte le sezioni locali, cioè per ogni aperto $U$ di $Y$ devi definire un morfismo di anelli $\mathcal{O}_Y(U) \to \mathcal{O}_X(f^{-1}(U))$.

[Edit: Corretto un'imprecisione]

[j18eos]

"Martino":...[Curiosamente sembra che questo non implichi che i morfismi $\mathcal{F}(U) \to \mathcal{G}(U)$ siano isomorfismi in generale, ma non conosco un controesempio. Armando tu conosci un controesempio?]...

No: ti sbagli!

Curiosamente è vero per i morfismi iniettivi e biettivi; cioè dati uno spazio topologico \(\displaystyle X\), dei fasci \(\displaystyle\mathcal{F}\) e \(\displaystyle\mathcal{G}\) di anelli su \(\displaystyle X\), un morfismo di fasci \(\displaystyle\varphi:\mathcal{F}\to\mathcal{G}\) è un monomorfismo\epimorfismo\isomorfismo (categoriale) di fasci se e solo se \(\displaystyle\forall x\in X,\,\varphi_x:\mathcal{F}_x\to\mathcal{G}_x\) è un monomorfismo\epimorfismo\isomorfismo (categoriale) di anelli.

Nel caso di monomorfismi e di isomorfismi \(\displaystyle\varphi:\mathcal{F}\to\mathcal{G}\) di fasci, tale fatto equivale a:
\[
\forall U\subseteq X\,\text{aperto,}\,\varphi(U):\mathcal{F}(U)\to\mathcal{G}(U)
\]
sono, rispettivamente, monomorfismi e isomorfismi di anelli.

Non è vero per il caso di epimorfismi di fasci.

Esempio. Si definisca il fascio di gruppi abeliani:
\[
\forall U\subseteq\mathbb{C}\,\text{aperto,}\,\mathcal{F}(U)=\{f:U\to\mathbb{C},\,\text{olomorfa}\}
\]
ogni \(\displaystyle\mathcal{F}(U)\) è un gruppo abeliano rispetto alla somma di funzioni, i morfismi di restrizione sono quelli ovvi; si definisca il fascio di gruppi abeliani:
\[
\forall U\subseteq\mathbb{C}\,\text{aperto,}\,\mathcal{G}(U)=\{g:U\to\mathbb{C}\setminus\{0\},\,\text{olomorfa}\}
\]
ogni \(\displaystyle\mathcal{G}(U)\) è un gruppo abeliano rispetto al prodotto di funzioni, i morfismi di restrizione sono quelli ovvi.
Considera il morfismo di fasci \(\displaystyle\exp:\mathcal{F}\to\mathcal{G}\) tale che:
\[
\forall U\subseteq\mathbb{C}\,\text{aperto,}\,\exp(U):f\in\mathcal{F}(U)\to e^f\in\mathcal{G}(U)
\]
questi non sono sempre suriettivi, come puoi verificare per \(\displaystyle U=\mathbb{C}\); ma tra i germi di tali fasci hai che \(\displaystyle\exp_z:\mathcal{F}_z\to\mathcal{G}_z\) sono morfismi suriettivi: basta prendere il logaritmo (complesso) del germe (nel ramo principale)!

Però, come si può vedere splendidamente dal precedente classico esempio[nota]Ne conoscevo un'altro squisitamente topologico, che ora non ricordo.[/nota] si può notare questo: siano \(\displaystyle X\) uno spazio topologico, \(\displaystyle\mathcal{F}\) e \(\displaystyle\mathcal{G}\) fasci di anelli su \(\displaystyle X\) e \(\displaystyle\varphi:\mathcal{F}\to\mathcal{G}\) un morfismo; \(\displaystyle\varphi\) è localmente suriettivo[nota]Per ogni sottoinsieme aperto \(\displaystyle U\) di \(\displaystyle X\), per ogni \(\displaystyle x\in U\) e per ogni \(\displaystyle g\in\mathcal{G}(U)\) si ha che esiste un intorno aperto \(\displaystyle V\) di \(\displaystyle x\) in \(\displaystyle U\) tale che \(\displaystyle g_{|V}\) abbia l'immagine inversa non vuota rispetto a \(\displaystyle\varphi(V)\).[/nota] se e solo se \(\displaystyle\forall x\in X,\,\varphi_x:\mathcal{F}_x\to\mathcal{G}_x\) è un epimorfismo di anelli.

Tornando al problema: che anello è \(\displaystyle\mathcal{O}_X(X)\)? Cioè, per costruzione, per essere \(\displaystyle X\) uno schema affine dev'essere per forza \(\displaystyle X\cong Spec\mathcal{O}_X(X)\), al di là di ogni ipotesi plausibile; però, nello ipotesi correnti, \(\displaystyle\mathcal{O}_X(X)\) deve avere finiti ideali primi, che nel relativo spettro sono addirittura punti chiusi. Quindi?

[e3353cdc139f9576d1418ef5ef3cff2aac614a86]

Giusto, bell'esempio Armando. Grazie

[Davi901]

"Martino":Come dice Armando, si tratta di studiare gli stalk.

Infatti un utile fatto riguardante i morfismi di fasci è che se $\mathcal{F} \to \mathcal{G}$ è un morfismo di fasci su uno spazio topologico $X$ allora esso è un isomorfismo se e solo se i morfismi indotti sugli stalk $\mathcal{F}_x \to \mathcal{G}_x$ per ogni $x \in X$ sono isomorfismi di anelli. [Curiosamente sembra che questo non implichi che i morfismi $\mathcal{F}(U) \to \mathcal{G}(U)$ siano isomorfismi in generale, ma non conosco un controesempio. Armando tu conosci un controesempio?]

Quindi bisogna costruire un morfismo di schemi $f: X \to Spec(\mathcal{O}_X(X))$ e mostrare che induce isomorfismi sulle fibre (dico 'fibra' e 'stalk' in modo intercambiabile ). E' relativamente facile (se vuoi, usando la proposizione che hai citato) vedere che $\mathcal{O}_X(X)$ è il prodotto diretto degli $\mathcal{O}_X(\{x\})$ che sono anelli non solo locali, addirittura con un unico ideale primo, e oltretutto poiché lo spazio è discreto si ha $\mathcal{O}_X(\{x\}) = \mathcal{O}_{X,x}$ e anzi

se $U$ è un aperto di $X$ allora $\mathcal{O}_X(U) = \prod_{x \in U} \mathcal{O}_{X,x}$.

Con questa informazione ti dovrebbe risultare facile costruire sia la mappa insiemistica $f: X \to Y = Spec(\mathcal{O}_X(X))$ che il relativo morfismo di fasci $\mathcal{O}_Y \to f_{\ast} \mathcal{O}_X$ dove $f_{\ast} \mathcal{O}_X(U) := \mathcal{O}_X(f^{-1}(U))$ (sono fasci su $Y$). Ricorda che si tratta di definirlo su tutte le sezioni locali, cioè per ogni aperto $U$ di $Y$ devi definire un morfismo di anelli $\mathcal{O}_Y(U) \to \mathcal{O}_X(f^{-1}(U))$.

[Edit: Corretto un'imprecisione]

Scusate la mia latitanza ma ho letto le risposte oggi e ho lasciato l'esercizio in sospeso.
Per quello detto precedentemente abbiamo che \( Spec(\mathcal{O}_X(X))\cong \{\mathfrak{p_1},\dots,\mathfrak{p_n}\}. \)
Quindi per definire l'isomorfismo di schemi \( (\varphi,\varphi^{\#})\colon(X,\mathcal{O}_X)\longrightarrow(Y,\mathcal{O}_Y) \) posso definire $\varphi$ nel modo seguente:
\( \begin{align}
\varphi\colon &X\longrightarrow Spec(\mathcal{O}_X(X))\\
&x_i\longmapsto \mathfrak{p_i}
\end{align} \)
Tale mappa è bigettiva, continua e chiusa quindi è un omeomorfismo.
A questo punto dovrei definire un isomorfismo di fasci tra \( \varphi^{\#}\colon \mathcal{O}_{Spec(O_x(X))}\longrightarrow\varphi_*(\mathcal{O}_X) \) in modo che \( \varphi^{\#}_{x_{i}}\colon \mathcal{O}_{Spec(O_x(X)),\mathfrak{p_i}}\longrightarrow\mathcal{O}_{X, x_i} \) sia un omomorfismo locale \( \forall i=1,\dots,n \). Non mi sta venendo facile capire come definire $\varphi^{\#}$ e l'omomorfismo sulle spighe in modo che soddisfi le condizioni che ho scritto. Quello che capisco (che è poco) è che devo definirlo su ogni \( \{x_i\} \) visto che sono una base di aperti per X.

[e3353cdc139f9576d1418ef5ef3cff2aac614a86]

Cosa sarebbe $\mathcal{p}_i$?

Per capire come procedere leggi il mio precedente intervento ed esplicita $\mathcal{O}_Y(U)$ e $\mathcal{O}_X(f^{-1}(U))$ ricordando quello che ho scritto, cioè che $\mathcal{O}_X(U) = \prod_{x \in U} \mathcal{O}_{X,x}$.

[Davi901]

"Martino":Cosa sarebbe $\mathcal{p}_i$?

Ho specificato chi sono. Scusa, pensavo di averlo già fatto negli altri post. Comunque ora ci penso un po' a quello che hai scritto. Grazie

[e3353cdc139f9576d1418ef5ef3cff2aac614a86]

Ok, comunque non ha senso definire $x_i \mapsto p_i$, non hai scritto come $p_i$ dipende da $x_i$. Chiaro che se li ordini in un modo prefissato definisci una biiezione insiemistica, ma la biiezione che ti funziona è solo una. Quindi la devi definire esattamente.

[j18eos]

@Davi90 Come giustifichi il fatto che i punti di \(\displaystyle Spec\mathcal{O}_X(X)\) sono chiusi?