Esercizi numeri complessi
Salve,
vorrei, se possibile, un aiuto nella risoluzione di questi due esercizi. In particolare il primo è:
- (\(A-2)^2 ( B+2) = 4A( A-2) \) Con A numero complesso e B suo coniugato. Le mie soluzioni sono:
1) \(\A=2 \)
2) Tutti i numeri complessi con parte reale e parte immaginaria appartenenti alla circonferenza di equazione \(\x^2 + y^2 - 4x = 4 \)
Il secondo invece:
- \(\A^3=|A|^2 \)
vorrei, se possibile, un aiuto nella risoluzione di questi due esercizi. In particolare il primo è:
- (\(A-2)^2 ( B+2) = 4A( A-2) \) Con A numero complesso e B suo coniugato. Le mie soluzioni sono:
1) \(\A=2 \)
2) Tutti i numeri complessi con parte reale e parte immaginaria appartenenti alla circonferenza di equazione \(\x^2 + y^2 - 4x = 4 \)
Il secondo invece:
- \(\A^3=|A|^2 \)
Risposte
Ciao!
A giudicare da come sembri aver risolto il primo esercizio immagino tu abbia posto pure nel secondo A=x+iy,
per poi giungere all'equazione a coefficenti complessi:
$x^3+3x^2(iy)+3x(iy)^2+(iy)^3=x^2+y^2hArr(x^3-3xy^2)+i(3x^2y-y^3)=x^2+y^2hArr$
$hArr{(x^3-3xy^2=x^2+y^2),(3x^2y-y^3=0):}$
Risolvi poi il sistema algebrico,e troverai tutte le soluzioni;
non ho svolto i conti,ma procedendo a spanne con la rappresentazione in coordinate polari e la formula di De Moivre
(che forse era la cosa più comoda da fare..)
mi sembra siano 0=0+i0,1=1+i0(e ce le aspettavamo di brutto!),$1/2+isqrt(3)/2,1/2-isqrt(3)/2$:
vedi tu un pò se mi sbaglio,
o se sono stato incompleto..
Saluti dal web.
A giudicare da come sembri aver risolto il primo esercizio immagino tu abbia posto pure nel secondo A=x+iy,
per poi giungere all'equazione a coefficenti complessi:
$x^3+3x^2(iy)+3x(iy)^2+(iy)^3=x^2+y^2hArr(x^3-3xy^2)+i(3x^2y-y^3)=x^2+y^2hArr$
$hArr{(x^3-3xy^2=x^2+y^2),(3x^2y-y^3=0):}$
Risolvi poi il sistema algebrico,e troverai tutte le soluzioni;
non ho svolto i conti,ma procedendo a spanne con la rappresentazione in coordinate polari e la formula di De Moivre
(che forse era la cosa più comoda da fare..)
mi sembra siano 0=0+i0,1=1+i0(e ce le aspettavamo di brutto!),$1/2+isqrt(3)/2,1/2-isqrt(3)/2$:
vedi tu un pò se mi sbaglio,
o se sono stato incompleto..
Saluti dal web.
Cosa intendi per " procedere a spanne " ? xD Potresti illustrarmi la procedura utilizzando le coordinate polari? Comunque, ho risolto il sistema ma non arrivo alla soluzione richiesta 
Per la cronaca, le tre soluzioni che hai trovato tu sono corrette ( a detta del libro ). Inoltre, perchè le soluzioni sono 4 anche se è di terzo grado il sistema? Mi sto confondendo le idee :S
Ps: una soluzione della prima equazione ( quella della circonferenza ) è \(\|A-2|= (22^(1/2) \) che non coincide con la mia giusto!? :S
Per la cronaca, le tre soluzioni che hai trovato tu sono corrette ( a detta del libro ). Inoltre, perchè le soluzioni sono 4 anche se è di terzo grado il sistema? Mi sto confondendo le idee :SPs: una soluzione della prima equazione ( quella della circonferenza ) è \(\|A-2|= (22^(1/2) \) che non coincide con la mia giusto!? :S
Ciao!
Innanzitutto spero ti chiarisca le idee osservare che il sistema è di grado $3*3=9$,
e dunque può avere $4<=9$ coppie di soluzioni:
rifà i conti,che ti saltano tutte fuori di sicuro..
Per l'altro punto poni $A=\rho*(cos\theta+isin\theta)$ ed osserva che,per definizione,$|A|^2=\rho^2$;
inoltre,per la formula di De Moivre,$A^3=\rho^3(cos3\theta+isen3\theta)$,
e dunque si tratterà di risolvere l'equazione $\rho^3(cos3\theta+isen3\theta)=\rho^2(cos0+isen0)$ e dunque il sistema
${(\rho^3=\rho^2),(cos3\theta=cos0),(sen3\theta=sen0):}$ (1) :
è un procedimento simile a quello per determinare tutte le n radici n-esime dell'unita in $CC$ che,
al di là della soluzione 0(corrispondente al modulo nullo),
ti porterà alle rimanenti tre di modulo unitario
(delle quali una è $1=1(cos0+iseno)$,
e le altre due sono le complesse coniugate corrispondenti alla soluzione $\rho=1\$ ed agli altri valori di $\thetain[0,pi]$ che soddisfano il sistema (1)..).
Spero d'esser stato utile e chiaro:
saluti dal web.
Innanzitutto spero ti chiarisca le idee osservare che il sistema è di grado $3*3=9$,
e dunque può avere $4<=9$ coppie di soluzioni:
rifà i conti,che ti saltano tutte fuori di sicuro..
Per l'altro punto poni $A=\rho*(cos\theta+isin\theta)$ ed osserva che,per definizione,$|A|^2=\rho^2$;
inoltre,per la formula di De Moivre,$A^3=\rho^3(cos3\theta+isen3\theta)$,
e dunque si tratterà di risolvere l'equazione $\rho^3(cos3\theta+isen3\theta)=\rho^2(cos0+isen0)$ e dunque il sistema
${(\rho^3=\rho^2),(cos3\theta=cos0),(sen3\theta=sen0):}$ (1) :
è un procedimento simile a quello per determinare tutte le n radici n-esime dell'unita in $CC$ che,
al di là della soluzione 0(corrispondente al modulo nullo),
ti porterà alle rimanenti tre di modulo unitario
(delle quali una è $1=1(cos0+iseno)$,
e le altre due sono le complesse coniugate corrispondenti alla soluzione $\rho=1\$ ed agli altri valori di $\thetain[0,pi]$ che soddisfano il sistema (1)..).
Spero d'esser stato utile e chiaro:
saluti dal web.
2) $x^2+y^2-4x-4=0 $ è l'equazione della ciconferenza di centro $C =(2,0) $ e di raggio $r =2 sqrt(2)$.
Quindi i numeri complessi $z $ che stanno sulla circonferenza sono tutti i punti che distano dal punto $(2,0)$ di $2 sqrt(2)$.
Dunque sono tali che $|z-2| = 2sqrt(2)$.
Quindi i numeri complessi $z $ che stanno sulla circonferenza sono tutti i punti che distano dal punto $(2,0)$ di $2 sqrt(2)$.
Dunque sono tali che $|z-2| = 2sqrt(2)$.
Inanzitutto grazie mille per l'interessamento. Ho controllato i calcoli del sistema e dell'equazione della circonferenza e mi trovo perfettamente 
Purtroppo non ho capito come è possibile arrivare alla stessa soluzione utilizzando la forma trogonometrica, in particolare per quanto riguarda le soluzioni diverse da 0
Purtroppo non ho capito come è possibile arrivare alla stessa soluzione utilizzando la forma trogonometrica, in particolare per quanto riguarda le soluzioni diverse da 0
"Slashino":
Inanzitutto grazie mille per l'interessamento. Ho controllato i calcoli del sistema e dell'equazione della circonferenza e mi trovo perfettamente
Ciao!
Tu prova a risolvere quelle due equazioni trigonometriche,oppure la tg3$\theta=0$ che è ad esse equivalente,
in modo tale da trovare tutti i $\thetain[-pi/2,pi/2]$ che la soddisfano,
e poi accoppia ciascuna di esse coi valori di $\rho$ che risolvono l'altra:
sostituisci infine queste coppie $(\rho,\theta)$ cosi ottenute nella forma trigonometrica di A,
ed avrai tutte le soluzioni della tua equazione.
Comunque direi che il procedimento,più avanti nel corso,ti diventerà più chiaro e faniliare:
saluti dal web.
Mi dispiace ma non ci arrivo Sbaglio qualcosa a livello concettuale. Allora:
Le due equazioni $ cos3θ= 1$ e $ sin3θ=0 $ restituiscono rispettivamente i valori $ 0, 2π $ e $ 0, π, 2π $ in un intervallo $[0,2π]$. Ora devo risolvere $A^3=A^2$ nell'insieme dei numeri complessi? Puoi farmi vedere i passaggi per favore?
Sbaglio qualcosa a livello concettuale. Allora:Le due equazioni $ cos3θ= 1$ e $ sin3θ=0 $ restituiscono rispettivamente i valori $ 0, 2π $ e $ 0, π, 2π $ in un intervallo $[0,2π]$. Ora devo risolvere $A^3=A^2$ nell'insieme dei numeri complessi? Puoi farmi vedere i passaggi per favore?
Ciao!
Da ${ (sen3\theta=0), (cos3\theta=1):}$ deduci,dividendo membro a membro,che
$text{tg}3\theta=0rArr3\theta=kpirArr\theta=k*pi/3$:
tra tali infinite soluzioni quelle appartenenti a $[-pi/2,pi/2]$ sono $-pi/3,0,pi/3$..
Sostituisci infine tali valori nella forma trigonometrica di A
(solo per $\rho=1$,
perchè nel caso $\rho=0$ è si dovrebbe introdurre una discussione un pò più puntigliosa sull'indeterminazione di $\theta$
e dunque ti "accontenti" di dire che A=0=0+i0 è certo soluzione della tua equazione..),
e ti verrano fuori tutte le soluzioni già determinate con il sistema di algebrico:
al tuo gusto,ora,scegliere in seguito tra le due strategie d'approccio..
Saluti dal web.
Da ${ (sen3\theta=0), (cos3\theta=1):}$ deduci,dividendo membro a membro,che
$text{tg}3\theta=0rArr3\theta=kpirArr\theta=k*pi/3$:
tra tali infinite soluzioni quelle appartenenti a $[-pi/2,pi/2]$ sono $-pi/3,0,pi/3$..
Sostituisci infine tali valori nella forma trigonometrica di A
(solo per $\rho=1$,
perchè nel caso $\rho=0$ è si dovrebbe introdurre una discussione un pò più puntigliosa sull'indeterminazione di $\theta$
e dunque ti "accontenti" di dire che A=0=0+i0 è certo soluzione della tua equazione..),
e ti verrano fuori tutte le soluzioni già determinate con il sistema di algebrico:
al tuo gusto,ora,scegliere in seguito tra le due strategie d'approccio..
Saluti dal web.
Ora ho capito. Grazie mille!
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