Esercizi nello spazio e nel piano.
premetto che non voglio che li risolviate, ma se mi potete dare dei suggerimenti per me va bene. sono argomenti che non riesco a concludere.
1 determinazione nello spazio euclideo la distanza del punto P(-5,-4,-6) dal piano passante per l'origine e perpendicolare al vettore v(4,5,4).
non capisco come posso trovarmi il piano. so che c'è la formula del piano passante per un punto e perpendicolare alla retta, ma mi servirebbe il punto. il piano passante per l'origine è ax+by+cz=0 come lo relaziono col vettore?
2 determinare le equazioni delle sfere di raggio $sqrt6$ tangenti al piano $x+y+2z=0$ nell'origine.
il raggio sarà sicuramente perpendicolare al piano, ma come trovo il centro? mi viene in mente piano perpendicolare al raggio e parallelo al piano dato, ma poi non so come andare avanti.
3 nello spazio euclideo determinare le equazioni cartesiane della retta passante per il punto -4,2,-1 e perpendicolare e incidente alla retta s: x-3z=0,y+z=0
se faccio $((x+4)/l=((y-2)/m)=((z+1)/n)$ l,m,n della retta s: è giusto ?
4 determinare nello spazio euclideo il piano contente la retta r: x+2y+z+1,2y-z=0 e parallelo alla retta s: x-z=0,y-z=0
io pensavo di fare il fascio della retta r, riscriverla in funzione di x y z con i k e fare il determinante fra questi e gli l m n di s.
5 determinare il piano contente la retta r: 3z+2y+3z=0,x+z+1=0 perpendicolare al piano 2x+6y+z+7=0
1 determinazione nello spazio euclideo la distanza del punto P(-5,-4,-6) dal piano passante per l'origine e perpendicolare al vettore v(4,5,4).
non capisco come posso trovarmi il piano. so che c'è la formula del piano passante per un punto e perpendicolare alla retta, ma mi servirebbe il punto. il piano passante per l'origine è ax+by+cz=0 come lo relaziono col vettore?
2 determinare le equazioni delle sfere di raggio $sqrt6$ tangenti al piano $x+y+2z=0$ nell'origine.
il raggio sarà sicuramente perpendicolare al piano, ma come trovo il centro? mi viene in mente piano perpendicolare al raggio e parallelo al piano dato, ma poi non so come andare avanti.
3 nello spazio euclideo determinare le equazioni cartesiane della retta passante per il punto -4,2,-1 e perpendicolare e incidente alla retta s: x-3z=0,y+z=0
se faccio $((x+4)/l=((y-2)/m)=((z+1)/n)$ l,m,n della retta s: è giusto ?
4 determinare nello spazio euclideo il piano contente la retta r: x+2y+z+1,2y-z=0 e parallelo alla retta s: x-z=0,y-z=0
io pensavo di fare il fascio della retta r, riscriverla in funzione di x y z con i k e fare il determinante fra questi e gli l m n di s.
5 determinare il piano contente la retta r: 3z+2y+3z=0,x+z+1=0 perpendicolare al piano 2x+6y+z+7=0
Risposte
Per il punto 1) guarda che, noto un vettore ortogonale ad un piano nello spazio tridimensionale, è facilissimo risalire all'equazione del piano. Se infatti il vettore è $v=(v_x, v_y, v_z)$, allora l'equazione del piano cercato (passante per l'origine) è $v_xx+v_yy+v_zz=0$. Pensaci un po' e te ne convincerai. Se un vettore $(x,y,z)$ verifica questa equazione, significa dire che il suo prodotto scalare con $(v_x, v_y, v_z)$ è uguale a...?
guarda ci avevo pensato ieri prima di svolgerlo, poi non so perché ho cambiato idea.
il piano è $4x+5y+4z=0$ giusto?
poi faccio il determinante della retta per p perpendicolare al piano, trovo la retta la interseco col piano e mi trovo il punto col piano. faccio la distanza tra i due punti. giusto?
edit: se faccio quel determinante poi mi dà la retta x-z=0,4y-5z=0 che messa a sistema col 4x+5y+4z=0 mi dà il punto 0,0,0 .. se faccio la distanza tra questo punto e -5,-4,-6 mi dà $sqrt77$. è giusto?
il piano è $4x+5y+4z=0$ giusto?
poi faccio il determinante della retta per p perpendicolare al piano, trovo la retta la interseco col piano e mi trovo il punto col piano. faccio la distanza tra i due punti. giusto?
edit: se faccio quel determinante poi mi dà la retta x-z=0,4y-5z=0 che messa a sistema col 4x+5y+4z=0 mi dà il punto 0,0,0 .. se faccio la distanza tra questo punto e -5,-4,-6 mi dà $sqrt77$. è giusto?
"Algalord":
2 determinare le equazioni delle sfere di raggio $sqrt6$ tangenti al piano $x+y+2z=0$ nell'origine.
I centri delle due sfere che risolvono l'esercizio stanno sulla
retta passante per l'origine e perpendicolare al piano $x+y+2z=0$.
"Algalord":
3 nello spazio euclideo determinare le equazioni cartesiane della retta passante per il punto -4,2,-1 e perpendicolare e incidente alla retta s: x-3z=0,y+z=0
La retta passa per il punto $A=(-4,2,-1)$ e per il punto $B$ che si ottiene
intersecando la retta $s$ con il piano passante per $A$ e perpendicolare ad $s$.
Sì, il procedimento che dici tu va pure bene, ma richiede troppi conti secondo me. Io farei così:
prendi un punto del piano, chiaramente prenderemo l'origine $O$;
considera il vettore $vec(OP)$, e chiama $vec(n)$ il vettore normale al piano che hai già dalla traccia;
fatti un disegno per capire: il vettore di cui devi calcolare la lunghezza (che spicca da $P$ e arriva ortogonalmente sul piano) è esattamente la proiezione ortogonale del vettore $vec(OP)$ sulla retta passante per $P$ e di direzione $vec(n)$. Basta calcolare la lunghezza di questa proiezione.
Concretamente: calcola la norma $n=||vec(n)||$, poi normalizza $vec(n)$, e infine calcola il prodotto scalare $vec(OP)*(vec(n)/n)$. Ottieni la distanza che ti serve.
[P.S.]: Scrivevo contemporaneamente a franced. Io mi riferisco al primo punto dell'esercizio.
prendi un punto del piano, chiaramente prenderemo l'origine $O$;
considera il vettore $vec(OP)$, e chiama $vec(n)$ il vettore normale al piano che hai già dalla traccia;
fatti un disegno per capire: il vettore di cui devi calcolare la lunghezza (che spicca da $P$ e arriva ortogonalmente sul piano) è esattamente la proiezione ortogonale del vettore $vec(OP)$ sulla retta passante per $P$ e di direzione $vec(n)$. Basta calcolare la lunghezza di questa proiezione.
Concretamente: calcola la norma $n=||vec(n)||$, poi normalizza $vec(n)$, e infine calcola il prodotto scalare $vec(OP)*(vec(n)/n)$. Ottieni la distanza che ti serve.
[P.S.]: Scrivevo contemporaneamente a franced. Io mi riferisco al primo punto dell'esercizio.
"dissonance":
[P.S.]: Scrivevo contemporaneamente a franced. Io mi riferisco al primo punto dell'esercizio.
Cioè al problema della sfera?
"franced":
[quote="dissonance"]
[P.S.]: Scrivevo contemporaneamente a franced. Io mi riferisco al primo punto dell'esercizio.
Cioè al problema della sfera?[/quote]
Se ti riferisci a quel problema puoi considerare il fascio di sfere seguente:
$x^2+y^2+z^2 + lambda(x+y+2z) = 0$
(fascio di sfere tangenti nell'origine al piano $x+y+2z=0$)
e imporre che il raggio sia uguale a $\sqrt{6}$.
"Algalord":
5 determinare il piano contente la retta r: 3z+2y+3z=0,x+z+1=0 perpendicolare al piano 2x+6y+z+7=0
Qui puoi considerare il fascio di piani contenenti la retta $r$:
$\lambda(3x+2y+3z) + \mu(x+z+1) = 0$
e imporre che il piano risulti perpendicolare al piano $2x+6y+z+7=0$.
"Algalord":
4 determinare nello spazio euclideo il piano contente la retta r: x+2y+z+1,2y-z=0 e parallelo alla retta s: x-z=0,y-z=0
Considera il fascio di piani
$\lambda(x+2y+z+1)+ \mu (2y-z) = 0$
e imponi che il piano risulti parallelo alla retta $s$.
"franced":
[quote="Algalord"]
5 determinare il piano contente la retta r: 3z+2y+3z=0,x+z+1=0 perpendicolare al piano 2x+6y+z+7=0
Qui puoi considerare il fascio di piani contenenti la retta $r$:
$\lambda(3x+2y+3z) + \mu(x+z+1) = 0$
e imporre che il piano risulti perpendicolare al piano $2x+6y+z+7=0$.[/quote]
il piano trovato è $8x-4y+8z+14=0$ giusto ? ho fatto un'ultima prova a moltiplicare aa'+bb+cc'=0 e mi viene 0^^
"franced":
[quote="Algalord"]
4 determinare nello spazio euclideo il piano contente la retta r: x+2y+z+1,2y-z=0 e parallelo alla retta s: x-z=0,y-z=0
Considera il fascio di piani
$\lambda(x+2y+z+1)+ \mu (2y-z) = 0$
e imponi che il piano risulti parallelo alla retta $s$.[/quote]
il piano viene $x-2y+3z+1=0$ giusto?
"dissonance":
Sì, il procedimento che dici tu va pure bene, ma richiede troppi conti secondo me. Io farei così:
prendi un punto del piano, chiaramente prenderemo l'origine $O$;
considera il vettore $vec(OP)$, e chiama $vec(n)$ il vettore normale al piano che hai già dalla traccia;
fatti un disegno per capire: il vettore di cui devi calcolare la lunghezza (che spicca da $P$ e arriva ortogonalmente sul piano) è esattamente la proiezione ortogonale del vettore $vec(OP)$ sulla retta passante per $P$ e di direzione $vec(n)$. Basta calcolare la lunghezza di questa proiezione.
Concretamente: calcola la norma $n=||vec(n)||$, poi normalizza $vec(n)$, e infine calcola il prodotto scalare $vec(OP)*(vec(n)/n)$. Ottieni la distanza che ti serve.
[P.S.]: Scrivevo contemporaneamente a franced. Io mi riferisco al primo punto dell'esercizio.
edit
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo