Esercizi matrici
Ciao, sto facendo delle esercitazioni in vista dell'esame.
Ci sono due esercizi sulle matrici che non riesco a fare, qualcuno potrebbe risolvermeli con una spiegazione semplice per piacere?
1) Sia $A = ((6,-4),(3, 2))$
Trovare un vettore colonna u appartenente ad M1,2 (in R) tale che $Au = 4u$.
2) Si supponga che A sia invertibile. Mostrare che se $AB = AC$ allora $B = C$. Dare un esempio di una matrice $A$ diversa da 0 tale che $AB = AC$ ma $B$ diverso da $C$.
*Per mostrare ce $AB = AC$ => $B = C$ ho pensato che come un equazione basta dividere entrambi i membri per $A$ dunque risulta $B=C$, ma non so se e' corretto.
Ci sono due esercizi sulle matrici che non riesco a fare, qualcuno potrebbe risolvermeli con una spiegazione semplice per piacere?
1) Sia $A = ((6,-4),(3, 2))$
Trovare un vettore colonna u appartenente ad M1,2 (in R) tale che $Au = 4u$.
2) Si supponga che A sia invertibile. Mostrare che se $AB = AC$ allora $B = C$. Dare un esempio di una matrice $A$ diversa da 0 tale che $AB = AC$ ma $B$ diverso da $C$.
*Per mostrare ce $AB = AC$ => $B = C$ ho pensato che come un equazione basta dividere entrambi i membri per $A$ dunque risulta $B=C$, ma non so se e' corretto.
Risposte
Ciao! 
e che vuol dire "dividere una matrice per un'altra"?
Per il primo esercizio va bene la colonna nulla; per trovare altre possibili soluzioni, considera un generico vettore $u = (x,y)^T$, calcola il prodotto $Au$ e risolvi il sistemino lineare che ne viene fuori.
Il secondo esercizio si può risolvere in più modi. Altre idee?
P.S.: Di che esame si tratta?
"ladyna":
*Per mostrare ce AB = AC => B = C ho pensato che come un equazione basta dividere entrambi i membri per A dunque risulta B=C, ma non so se e' corretto.
e che vuol dire "dividere una matrice per un'altra"? Per il primo esercizio va bene la colonna nulla; per trovare altre possibili soluzioni, considera un generico vettore $u = (x,y)^T$, calcola il prodotto $Au$ e risolvi il sistemino lineare che ne viene fuori.
Il secondo esercizio si può risolvere in più modi. Altre idee?
P.S.: Di che esame si tratta?
Esame di matematica discreta! 
Ah ecco. Quindi penso che abbiate provato che se $A$ è un anello unitario (nel tuo caso $A=\mathcal{M}_2(RR)$), ed $m$ è un suo elemento invertibile, allora questo è cancellabile (cioè che ogniqualvolta si ha $ma=mb$ o $am=bm$, necessariamente $a=b$). Vero?
"Plepp":
Ah ecco. Quindi penso che abbiate provato che se $A$ è un anello unitario (nel tuo caso $A=\mathcal{M}_2(RR)$), ed $m$ è un suo elemento invertibile, allora questo è cancellabile (cioè che ogniqualvolta si ha $ma=mb$ o $am=bm$, necessariamente $a=b$). Vero?
Aggiungo una postilla, l'ipotesi che $A$ sia invertibile è fondamentale. Infatti non è vero in generale che se
$AC=AD => C=D$. Un Semplice controesempio :
Prendiamo $A=((1,0),(0,0))$ e $C=((1,0),(1,1))$ e $D=((1,0),(2,2))$.
Si ha che $A*C=((1,0),(0,0))=A*D$ ma $C!=D$.
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