Esercizi Geometria (verifica risoluzione)
Salve,
oggi ho affrontato l'esame di Geometria (facoltà di Ingegneria), e (anche a causa della mia preparazione sommaria) non è andato molto bene.. Potreste risolvermi questi esercizi in modo da aiutarmi per il prossimo appello o nel caso in cui mi ammettesse all orale?(non capiterà mai, ma chi lo sa)
Vi ringrazio in anticipo (spero di non andare contro nessuna regola del forum , sono un newbie, in caso ditemi come agire)
oggi ho affrontato l'esame di Geometria (facoltà di Ingegneria), e (anche a causa della mia preparazione sommaria) non è andato molto bene.. Potreste risolvermi questi esercizi in modo da aiutarmi per il prossimo appello o nel caso in cui mi ammettesse all orale?(non capiterà mai, ma chi lo sa)
Vi ringrazio in anticipo (spero di non andare contro nessuna regola del forum , sono un newbie, in caso ditemi come agire)
Risposte
Dunque... prendiamo per esempio il primo. Ricopio il testo come atto di pietà verso chi volesse leggerlo 
. Ti ricordo comunque di leggere la guida per scrivere le formule nel box rosa in alto.
${(3x+2y+z+w=0), (2x+y+2z+3w=1), (ax+y+z+w=0), (4x+3y+2z+w=1):}$
"Studiare il sistema lineare" significa studiare la sua risolubilità e, nel caso, scrivere le soluzioni. Studiare la risolubilità significa studiare il rango delle matrici associate, quindi scriviamo le matrici (purtroppo non so fare la linea verticale per separare il vettore dei termini noti ma sono sicuro che si capirà lo stesso)
$A|b=[(3, 2, 1, 1, 0), (2, 1, 2, 3, 1), (a, 1, 1, 1, 0), (4, 3, 2, 1, 1)]$.
Cominciamo a guardare l'incompleta: $A=[(3, 2, 1, 1), (2, 1, 2, 3), (a, 1,1,1), (4, 3, 2, 1)]$. Calcoliamo il suo determinante e risulta $6-4a$. Possiamo quindi dire che per $a != 3/2$ il determinante non è nullo, quindi la matrice non è singolare, quindi il suo rango è massimo e pari a $4$. Sai proseguire da qui?
. Ti ricordo comunque di leggere la guida per scrivere le formule nel box rosa in alto.${(3x+2y+z+w=0), (2x+y+2z+3w=1), (ax+y+z+w=0), (4x+3y+2z+w=1):}$
"Studiare il sistema lineare" significa studiare la sua risolubilità e, nel caso, scrivere le soluzioni. Studiare la risolubilità significa studiare il rango delle matrici associate, quindi scriviamo le matrici (purtroppo non so fare la linea verticale per separare il vettore dei termini noti ma sono sicuro che si capirà lo stesso)
$A|b=[(3, 2, 1, 1, 0), (2, 1, 2, 3, 1), (a, 1, 1, 1, 0), (4, 3, 2, 1, 1)]$.
Cominciamo a guardare l'incompleta: $A=[(3, 2, 1, 1), (2, 1, 2, 3), (a, 1,1,1), (4, 3, 2, 1)]$. Calcoliamo il suo determinante e risulta $6-4a$. Possiamo quindi dire che per $a != 3/2$ il determinante non è nullo, quindi la matrice non è singolare, quindi il suo rango è massimo e pari a $4$. Sai proseguire da qui?
hmm tu come continueresti?
Allora: per $a != 3/2$ il rango dell'incompleta è $4$ quindi ovviamente anche il rango della completa è $4$. Questo significa che il sistema è risolvibile e ammette un'unica soluzione, che si trova ad esempio riducendo la matrice con Gauss alla forma triangolare.
Discorso diverso per $a=3/2$: sostituisco e ottengo la matrice $[(3, 2, 1, 1), (2, 1, 2, 3), (3/2, 1, 1, 1), (4, 3, 2, 1)]$ che sicuramente non ha rango $4$ dato che è singolare. Dobbiamo quindi chiederci: qual è il rango, ovvero la dimensione del massimo minore invertibile che si può estrarre dalla matrice? Con qualche calcolo si trova che il rango è $3$. Si deve ora verificare se anche il rango della completa è $3$ oppure no.
Considero la matrice $[(3, 2, 1, 1, 0), (2, 1, 2, 3, 1), (3/2, 1, 1, 1, 0), (4, 3, 2, 1, 1)]$ e, sempre con qualche calcolo, trovo che il rango è $4$. Quindi per $a=3/2$ il sistema non è risolvibile poichè il rango dell'incompleta è diverso dal rango della completa.
PS. Facendo i calcoli con il pc la soluzione per $a != 3/2$ risulta $((-1/(2a-3)), ((3-a)/(2a-3)), ((3a-5)/(2a-3)), ((2-a)/(2a-3)))$.
Spero di non aver sbagliato qualche calcolo...
Discorso diverso per $a=3/2$: sostituisco e ottengo la matrice $[(3, 2, 1, 1), (2, 1, 2, 3), (3/2, 1, 1, 1), (4, 3, 2, 1)]$ che sicuramente non ha rango $4$ dato che è singolare. Dobbiamo quindi chiederci: qual è il rango, ovvero la dimensione del massimo minore invertibile che si può estrarre dalla matrice? Con qualche calcolo si trova che il rango è $3$. Si deve ora verificare se anche il rango della completa è $3$ oppure no.
Considero la matrice $[(3, 2, 1, 1, 0), (2, 1, 2, 3, 1), (3/2, 1, 1, 1, 0), (4, 3, 2, 1, 1)]$ e, sempre con qualche calcolo, trovo che il rango è $4$. Quindi per $a=3/2$ il sistema non è risolvibile poichè il rango dell'incompleta è diverso dal rango della completa.
PS. Facendo i calcoli con il pc la soluzione per $a != 3/2$ risulta $((-1/(2a-3)), ((3-a)/(2a-3)), ((3a-5)/(2a-3)), ((2-a)/(2a-3)))$.
Spero di non aver sbagliato qualche calcolo...
quindi se il rango dell incompleta è = al rango della completa il sistema ammette una e una sola soluzione, mentre se i ranghi risultano diversi allora non è risolvibile, no?
grazie mille
e riguardo gli altri esercizi?
grazie mille
e riguardo gli altri esercizi?
"holback":
quindi se il rango dell incompleta è = al rango della completa il sistema ammette una e una sola soluzione?
No, possiamo solo dire che il sistema è risolubile. Riguardo al numero delle soluzioni: la soluzione è unica solo se i ranghi sono massimi, altrimenti dipende da un numero di parametri pari alla differenza tra il massimo rango possibile e il rango della matrice.
Se, per ipotesi, il sistema fosse stato risolubile anche per $a=3/2$ avremmo avuto una soluzione dipendente da $1$ parametro poichè $4-3=1$.
tutto molto chiaro.. grazie veramente..
se ti va di risolvere gli altri mi faresti un enorme favore.. come avrai capito ho davvero tanto da studiare ancora, con le risoluzioni la comprensione risulta piu easy
se ti va di risolvere gli altri mi faresti un enorme favore.. come avrai capito ho davvero tanto da studiare ancora, con le risoluzioni la comprensione risulta piu easy
Posto la soluzione dell'esercizio 3.
Data la matrice $[(a+7, 5, 5, 0), (a+6, 5, 0, 5), (13, 0, 5, 5), (a+13, 5, 5, 5)], a in RR ^^ a != 0$ chiede di calcolarne il determinante e il rango.
Partiamo dal determinante: sicuramente una possibilità è utilizzare lo sviluppo di Laplace ma questo ti porta a fare calcoli impegnativi e aumenta le probabilità di errore. Seguiamo un'altra strada molto più elegante: con un po' di occhio possiamo notare che la quarta riga è ottenuta sommando le prime tre e dividendo questa somma per $2$. Quindi abbiamo una riga esprimibile come combinazione lineare delle altre $rArr$ il determinante è nullo.
Il fatto che il determinante sia nullo ci garantisce che il rango non sarà $4$.
Prendiamo il minore $[(5, 5), (5, 0)]$: è sicuramente invertibile, quindi il rango è almeno $2$. Proviamo ad orlarlo con gli elementi della terza riga e della quarta colonna e otteniamo il minore $[(5, 5, 0), (5, 0, 5), (0, 5, 5)]$. Calcoliamo il suo determinante, ad esempio con la regola di Sarrus, e otteniamo $-250$. Questo significa che il minore è invertibile e che quindi il rango della matrice è $3$.
Data la matrice $[(a+7, 5, 5, 0), (a+6, 5, 0, 5), (13, 0, 5, 5), (a+13, 5, 5, 5)], a in RR ^^ a != 0$ chiede di calcolarne il determinante e il rango.
Partiamo dal determinante: sicuramente una possibilità è utilizzare lo sviluppo di Laplace ma questo ti porta a fare calcoli impegnativi e aumenta le probabilità di errore. Seguiamo un'altra strada molto più elegante: con un po' di occhio possiamo notare che la quarta riga è ottenuta sommando le prime tre e dividendo questa somma per $2$. Quindi abbiamo una riga esprimibile come combinazione lineare delle altre $rArr$ il determinante è nullo.
Il fatto che il determinante sia nullo ci garantisce che il rango non sarà $4$.
Prendiamo il minore $[(5, 5), (5, 0)]$: è sicuramente invertibile, quindi il rango è almeno $2$. Proviamo ad orlarlo con gli elementi della terza riga e della quarta colonna e otteniamo il minore $[(5, 5, 0), (5, 0, 5), (0, 5, 5)]$. Calcoliamo il suo determinante, ad esempio con la regola di Sarrus, e otteniamo $-250$. Questo significa che il minore è invertibile e che quindi il rango della matrice è $3$.
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