Esercizi geometria
Salve a tutti! Ho dei dubbi su alcuni esercizi di geometria, speravo che qualcuno potesse aiutarmi:
Nello spazio proiettivo \(\displaystyle P^5 \) si considerino i sottospazi
\(\displaystyle x_1 - x_6 = x_2 - x_5 = x_3 - x_4 = 0 \) e \(\displaystyle x_1 - x_3 -x_5 + x_6 = x_4 +x_5 -2x_6=0 \)
Considerato quindi lo spazio affine complementare
\(\displaystyle A=P^5 - S \) ove \(\displaystyle S = 2x_1 - x_4 - x_5 = 0 \), si stabilisca se in A le tracce affini dei due sottospazi risultano parallele.
In generale, se lo spazio è \(\displaystyle P^n \), non ho capito come fare a calcolare le tracce affini di quadriche, o anche sottospazi lineari, quando gli iperpiani da sottrarre non sono nella forma \(\displaystyle x_j=0 \) per qualche j=1,...,n+1.
Nello spazio proiettivo \(\displaystyle P^5 \) si considerino i sottospazi
\(\displaystyle x_1 - x_6 = x_2 - x_5 = x_3 - x_4 = 0 \) e \(\displaystyle x_1 - x_3 -x_5 + x_6 = x_4 +x_5 -2x_6=0 \)
Considerato quindi lo spazio affine complementare
\(\displaystyle A=P^5 - S \) ove \(\displaystyle S = 2x_1 - x_4 - x_5 = 0 \), si stabilisca se in A le tracce affini dei due sottospazi risultano parallele.
In generale, se lo spazio è \(\displaystyle P^n \), non ho capito come fare a calcolare le tracce affini di quadriche, o anche sottospazi lineari, quando gli iperpiani da sottrarre non sono nella forma \(\displaystyle x_j=0 \) per qualche j=1,...,n+1.
Risposte
In generale valgono le seguenti relazioni che possono esserti d'aiuto.
Siano $ L_1,L_2 $ sottospazi affini di $ A^n $, $ L_1 $ è parallelo a $ L_2 $ se e solo se $ Dir(L_1)sube Dir(L_2) $ se e solo se i punti impropri di $ L_1 $ sono anche punti impropri di $ L_2 $.
Siano $ L_1,L_2 $ sottospazi affini di $ A^n $, $ L_1 $ è parallelo a $ L_2 $ se e solo se $ Dir(L_1)sube Dir(L_2) $ se e solo se i punti impropri di $ L_1 $ sono anche punti impropri di $ L_2 $.
In realtà quello lo so bene, è il procedimento per trovare la traccia affine che non mi è molto chiaro.
Ma non ti viene chiesto di determinare le tracce affini...
Non capisco come fare altrimenti per determinare se le tracce affini sono parallele.
In ogni caso, mettiamo che io voglia calcolare le tracce affini, come faccio a determinarle?
In ogni caso, mettiamo che io voglia calcolare le tracce affini, come faccio a determinarle?
Ti ho scritto nel primo messaggio come fare a dire se le tracce affini sono parallele... Devi determinare i punti all'infinito dei due spazi e vedere se uno è contenuto nell'altro. Non sempre è così immediato determinare esplicitamente le tracce affini.