Esercizi e Matrici Diagonali.
Data la matrice A =
( 3 , 1 , 1 )
( 1 , 3 , 1 )
( 1 , 1, 3 )
Vedendola capisco subito che è simmetrica quindi ha tutti gli autovalori diversi tra loro ed è sempre diagonalizzabile.
(i) Provare che 2 `e autovalore di A;
(ii) Trovare una base per l’autospazio relativo all’autovalore 2;
(iii) Esiste una matrice P invertibile tale che (P inversa ) (A) (P) sia diagonale? Motivare la risposta.
(iv) Esiste una matrice P invertibile tale che (P trasposta)(A) (P) sia diagonale? Motivare la risposta.
Per quanto riguardo il punto i so come muovermi e anche per la seconda richiesta ( dovrei moltiplicare la matrice per il vettore colonna [X , Y , Z] e trovarmi un autovettore per quell' autovalore vero ? ) ... la terza richiesta e la quarta non so proprio come fare.
Dai miei appunti leggo che una matrice A è invertibile se AB=BA= Identità e che una matrice diagonale è del tipo $ [ ( 1 , 0 , 0 ),( 0 , 1, 0 ),( 0 , 0, 1 ) ] $ quindi simmetrica .... Conosco il procedimento per calcolare una matrice inversa o la sua trasposta ma non so come svolgere l'esercizio. (>.<)
( 3 , 1 , 1 )
( 1 , 3 , 1 )
( 1 , 1, 3 )
Vedendola capisco subito che è simmetrica quindi ha tutti gli autovalori diversi tra loro ed è sempre diagonalizzabile.
(i) Provare che 2 `e autovalore di A;
(ii) Trovare una base per l’autospazio relativo all’autovalore 2;
(iii) Esiste una matrice P invertibile tale che (P inversa ) (A) (P) sia diagonale? Motivare la risposta.
(iv) Esiste una matrice P invertibile tale che (P trasposta)(A) (P) sia diagonale? Motivare la risposta.
Per quanto riguardo il punto i so come muovermi e anche per la seconda richiesta ( dovrei moltiplicare la matrice per il vettore colonna [X , Y , Z] e trovarmi un autovettore per quell' autovalore vero ? ) ... la terza richiesta e la quarta non so proprio come fare.
Dai miei appunti leggo che una matrice A è invertibile se AB=BA= Identità e che una matrice diagonale è del tipo $ [ ( 1 , 0 , 0 ),( 0 , 1, 0 ),( 0 , 0, 1 ) ] $ quindi simmetrica .... Conosco il procedimento per calcolare una matrice inversa o la sua trasposta ma non so come svolgere l'esercizio. (>.<)
Risposte
i),ii) vanno bene come procedimento, basta imporre la definizione di autovalore e autovettore $Av=lambdav$...
Come hai notato la matrice è simmetrica, pertanto per il teorema spettrale hai che esiste una matrice ortogonale $P$ tale che $P^TAP=D$, ossia tale per cui $A$ è simile a una matrice diagonale.
ti ricordo che se P è ortogonale, ossia $P in O(n)$ allora $P^T=P^-1$.
Come hai notato la matrice è simmetrica, pertanto per il teorema spettrale hai che esiste una matrice ortogonale $P$ tale che $P^TAP=D$, ossia tale per cui $A$ è simile a una matrice diagonale.
ti ricordo che se P è ortogonale, ossia $P in O(n)$ allora $P^T=P^-1$.
Si ma non mi viene proprio come trovare la P per poi calcolare la trasposta o la inversa ...
P trasposta X $ [ ( 3 , 1 , 1),( 1 , 3 , 1),( 1 , 1 , 3 ) ] $ X $ [ ( , , ),( , , ),( , , ) ] $ = $ [ ( autv , 0 , 0 ),( 0 , autv , 0 ),( 0 , 0 , autv ) ] $
Poiché P è ortogonale quindi Ptrasposta (P) = $ [ ( 1 , 0 , 0 ),( 0 , 1 , 0 ),( 0 , 0 , 1 ) ] $
P trasposta X $ [ ( 3 , 1 , 1),( 1 , 3 , 1),( 1 , 1 , 3 ) ] $ X $ [ ( , , ),( , , ),( , , ) ] $ = $ [ ( autv , 0 , 0 ),( 0 , autv , 0 ),( 0 , 0 , autv ) ] $
Poiché P è ortogonale quindi Ptrasposta (P) = $ [ ( 1 , 0 , 0 ),( 0 , 1 , 0 ),( 0 , 0 , 1 ) ] $
Ti viene chiesto se esiste, non di determinarla.
Comunque, tale matrice avrà come colonne gli autovettori relativi agli autovalori, ti basta determinarli e metterli come colonne e avrai la tua matrice P.
Per determinare gli autovalori è necessario determinare il $ker(A-lambda_iI)$.
Comunque, tale matrice avrà come colonne gli autovettori relativi agli autovalori, ti basta determinarli e metterli come colonne e avrai la tua matrice P.
Per determinare gli autovalori è necessario determinare il $ker(A-lambda_iI)$.
Ah gia xD mi chiedeva solo di provarlo e non di fare i calcoli ecco perché non avevo proprio idea su come procedere, quindi presumo che non mi capiterà mai un esercizio del genere dove mi chieda di calcolare la P per esempio poiché credo non sia possibile ? 
... a dire il vero spesso viene data una matrice, si chiede se è diagonalizzabile, e in caso affermativo di determinare una matrice $P $ tale che $P^-1AP=D $. Per determinarla, come ti ho già detto, è sufficiente disporre gli autovettori come colonne di tale matrice. Sul forum ci sono valanghe di matrici diagonalizzate: con parametri, senza, esercizi classici. ...insomma di tutti i tipi, ti basta cercare 
Ti lascio un esercizio facile facile che ti possa far comprendere quanto detto (se ti va di farlo bene, sennò nessun problema 
)
data la matrice $ A=| ( 3 ,0 , 0 ),( -4 , -1 , -8 ),( 0,0,3 ) | $
a) è diagonalizzabile su $ mathbb(R) $ ?
b)In caso affermativo, determina una matrice $P$ tale per cui il prodotto $P^-1AP$ sia diagonale.
)data la matrice $ A=| ( 3 ,0 , 0 ),( -4 , -1 , -8 ),( 0,0,3 ) | $
a) è diagonalizzabile su $ mathbb(R) $ ?
b)In caso affermativo, determina una matrice $P$ tale per cui il prodotto $P^-1AP$ sia diagonale.
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