Esercizi di Topologia Generale
Ciao ragazzi, mi chiamo Luca, e volevo sottoporvi un esercizio di topologia (basilare) che non riesco a risolvere (a causa della mia elasticità mentale scarsa mi sa).
Allora gli argomenti dei miei esercizi, attuali, sono relativi agli spazi metrici e topologici (quindi proprio roba basilare per l'argomento).
L'esercizio è questo:
Verificare che la seguente famiglia di sottoinsiemi di $\mathbb{R}$ non è una topologia:
$U = \{ \emptyset \} \cup \{ \mathbb{R} \} \cup \{ (-\infty, x] | x \in \mathbb{R} \}$
Ora io so che dato un'insieme $A$ e una sua famiglia di sottoinsiemi $U$ quest'ultima è una topologia se
1. $\emptyset$ e $A$ appartengono alla famiglia.
2. Se l'intersezione di due elementi di $U$ è ancora in $U$
3. L'unione di una qualunque famiglia di elementi di $U$ è ancora in $U$.
A naso mi sembra le prime due siano rispettate, la terza ho sempre dubbi che la applico male, se mi chiede di dimostrare che non è una topologia evidentemente qualcuna di queste non sarà rispettata.
Premetto che come unici strumenti ho la definizione di topologia nient'altro.
A parte che poi la notazione che usa il libro di testo da cui ho tratto l'esercizio mi sembra poco chiara, ad esempio in questo caso $U$ include TUTTI gli intervalli chiusi a destra? oppure un intervallo solo arbitrario?
Potete inoltre farmi un esempio di famiglia di elementi in $U$?
Allora gli argomenti dei miei esercizi, attuali, sono relativi agli spazi metrici e topologici (quindi proprio roba basilare per l'argomento).
L'esercizio è questo:
Verificare che la seguente famiglia di sottoinsiemi di $\mathbb{R}$ non è una topologia:
$U = \{ \emptyset \} \cup \{ \mathbb{R} \} \cup \{ (-\infty, x] | x \in \mathbb{R} \}$
Ora io so che dato un'insieme $A$ e una sua famiglia di sottoinsiemi $U$ quest'ultima è una topologia se
1. $\emptyset$ e $A$ appartengono alla famiglia.
2. Se l'intersezione di due elementi di $U$ è ancora in $U$
3. L'unione di una qualunque famiglia di elementi di $U$ è ancora in $U$.
A naso mi sembra le prime due siano rispettate, la terza ho sempre dubbi che la applico male, se mi chiede di dimostrare che non è una topologia evidentemente qualcuna di queste non sarà rispettata.
Premetto che come unici strumenti ho la definizione di topologia nient'altro.
A parte che poi la notazione che usa il libro di testo da cui ho tratto l'esercizio mi sembra poco chiara, ad esempio in questo caso $U$ include TUTTI gli intervalli chiusi a destra? oppure un intervallo solo arbitrario?
Potete inoltre farmi un esempio di famiglia di elementi in $U$?
Risposte
Prendiamo questa famiglia e facciamone l'unione:
$ \uuu_{n \in \NN}(oo,-1/n]$
Avrà come unione l'intervallo aperto:
$(oo,0)$
E chiaramente non appartiene alla topologia.
$ \uuu_{n \in \NN}(oo,-1/n]$
Avrà come unione l'intervallo aperto:
$(oo,0)$
E chiaramente non appartiene alla topologia.
Ah ecco mi sfuggiva una cosa banale quindi che con la notazione
$\{ (-\infty, x] | x \in \mathbb{R} \}$
si indicava l'insieme di tutti gli intervalli chiusi a destra con $x$ reale.
$\{ (-\infty, x] | x \in \mathbb{R} \}$
si indicava l'insieme di tutti gli intervalli chiusi a destra con $x$ reale.
E se dovessi verificare che quest'altra famiglia
$\{\emptyset\} \cup \{ \mathbb{R} \} \cup \{ (a,b) | a,b \in \mathbb{R}, a < b \}$
posso procedere osservando che
$(a,b) \cup (b,c) , a < b < c$ non è un insieme della famiglia?
$\{\emptyset\} \cup \{ \mathbb{R} \} \cup \{ (a,b) | a,b \in \mathbb{R}, a < b \}$
posso procedere osservando che
$(a,b) \cup (b,c) , a < b < c$ non è un insieme della famiglia?
Tu dici che se prendi quei due insiemi e guardi l'elemento b, questo appartiene all'intervallo $(a,c)$ ma non all'unione e quindi non funziona, giusto?
Si, praticamente si. Cioè unendo due elementi della famiglia non ottengo un elemento della forma $(a',b')$ che appartiene alla famiglia per costruzione.
Due intervalli disgiunti non danno un risultato accettabile quando fai l'unione, quindi direi che hai ragione! Quindi non è una topologia..
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