Esercizi di geometria dello spazio
Salve a tutti, avrei bisogno di aiuto urgente per due esercizi di geometria perchè domani ho l'esame e non so come farli, per favore aiutatemi... Per favore,oltre a dirmi la risposta, potete scrivermi il procedimeno da utilizzare per risolverli? Grazie anticipatamente
Esercizio 1: la retta per A (3,-1,1) ortogonale alle retta r:[x=h, y=-h+1, z=2] ed s:[x=3 , y=h, z=-2h-1],
1) è incidente r e s?
2) è incidente r ma non s?
3) è incidente s ma non r?
4) non è incidente nè r nè s?
Esercizio 2: la retta per (-1,2,3) parallela ai piani di equazione x-y-2z=17; 3x+2y-z=23
1) passa per il punto (5,0,5)?
2) è incidente la retta di equazione x+y-1=0=2x+z+8?
3) passa per il punto (-5,5,0)?
4) è incidente la retta di equazione y+2z-10=0=x+3z-20?
Davvero grazie anticipatamente...
Esercizio 1: la retta per A (3,-1,1) ortogonale alle retta r:[x=h, y=-h+1, z=2] ed s:[x=3 , y=h, z=-2h-1],
1) è incidente r e s?
2) è incidente r ma non s?
3) è incidente s ma non r?
4) non è incidente nè r nè s?
Esercizio 2: la retta per (-1,2,3) parallela ai piani di equazione x-y-2z=17; 3x+2y-z=23
1) passa per il punto (5,0,5)?
2) è incidente la retta di equazione x+y-1=0=2x+z+8?
3) passa per il punto (-5,5,0)?
4) è incidente la retta di equazione y+2z-10=0=x+3z-20?
Davvero grazie anticipatamente...
Risposte
Il primo:
Devono essere ortogonali i vettori direttori, quindi:
$(l,m,n)*(1,-1,0)=0 -> l=m$
$
$(m,m,n)*(0,1,-2)=0 -> m=2n$ Il vettore direttore della retta cercata quindi è nella forma $(2n,2n,n)$
La retta quindi sarà $\{(x=2lambda+3),(y=2lambda-1),(z=lambda-1):}$
Per il secondo: devi impostare l'orogonalità tra il vettore della retta che cerchi $(l,m,n)$ con i vetori normali dei due piani.
Devono essere ortogonali i vettori direttori, quindi:
$(l,m,n)*(1,-1,0)=0 -> l=m$
$
$(m,m,n)*(0,1,-2)=0 -> m=2n$ Il vettore direttore della retta cercata quindi è nella forma $(2n,2n,n)$
La retta quindi sarà $\{(x=2lambda+3),(y=2lambda-1),(z=lambda-1):}$
Per il secondo: devi impostare l'orogonalità tra il vettore della retta che cerchi $(l,m,n)$ con i vetori normali dei due piani.
"Mirino06":
Il primo:
Devono essere ortogonali i vettori direttori, quindi:
$(l,m,n)*(1,-1,0)=0 -> l=m$
$
$(m,m,n)*(0,1,-2)=0 -> m=2n$ Il vettore direttore della retta cercata quindi è nella forma $(2n,2n,n)$
La retta quindi sarà $\{(x=2lambda+3),(y=2lambda-1),(z=lambda-1):}$
Per il secondo: devi impostare l'orogonalità tra il vettore della retta che cerchi $(l,m,n)$ con i vetori normali dei due piani.
Me lo potresti spiegare più dettagliatamente? Cioè passaggio per passaggio?
Se due rette sono ortogonali, allora i loro vettori direttore lo saranno altrettanto.
Per l'ortogonalità, imponi il prodotto scalare $=0$
Il vettore direttore della prima retta è $(1,-1,0)$. Quindi $(l.m.n)*(1,-1,0)=0$: quindi $l=m$
Il vettore direttore della seconda retta è $(0,1,-2)$. Quindi $(l.m.n)*(0,1,-2)=0$: quindi $m=2n$
Il vettore direttore della retta generica $(lm.n.)$, viste queste due condizioni, diventa $(2n,2n,n)$. Metti $n=1$ (per esempio), quindi hai che la retta cercata è $\{(x=2lambda+3),(y=2lambda-1),(z=lambda-1):}$
Il secondo esercizio è molto simile.
Retta parallela ad un piano $->$ i loro vettori (direttore e normale) sono ortogonali.
Quindi $(l.m.n)*(1,-1,2)=0 -> l-m+2n=0$
$(l.m.n)*(3,2,-1)=0 -> 3l+2m-n=0$
Le metti a sistema e trovi che $l=-3/5n$ e $m=7/5n$
Il vettore direttore sarà quindi nella forma $(-3/5n,7/5n,n)$. Poni $n=5$ (per esempio), quindi il vettore direttore sarà $(-3,7,5)$.
$r:\{(x=-1-3lambda),(y=2+7lambda),(z=3+5lambda):}$
Per l'ortogonalità, imponi il prodotto scalare $=0$
Il vettore direttore della prima retta è $(1,-1,0)$. Quindi $(l.m.n)*(1,-1,0)=0$: quindi $l=m$
Il vettore direttore della seconda retta è $(0,1,-2)$. Quindi $(l.m.n)*(0,1,-2)=0$: quindi $m=2n$
Il vettore direttore della retta generica $(lm.n.)$, viste queste due condizioni, diventa $(2n,2n,n)$. Metti $n=1$ (per esempio), quindi hai che la retta cercata è $\{(x=2lambda+3),(y=2lambda-1),(z=lambda-1):}$
Il secondo esercizio è molto simile.
Retta parallela ad un piano $->$ i loro vettori (direttore e normale) sono ortogonali.
Quindi $(l.m.n)*(1,-1,2)=0 -> l-m+2n=0$
$(l.m.n)*(3,2,-1)=0 -> 3l+2m-n=0$
Le metti a sistema e trovi che $l=-3/5n$ e $m=7/5n$
Il vettore direttore sarà quindi nella forma $(-3/5n,7/5n,n)$. Poni $n=5$ (per esempio), quindi il vettore direttore sarà $(-3,7,5)$.
$r:\{(x=-1-3lambda),(y=2+7lambda),(z=3+5lambda):}$
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