Esercizi di geometria che non capisco

[fra017]

Consideriamo lo spazio Rn con il prodotto scalare canonico ⟨−, −⟩. Sia v ∈ $R^n$ un vettore con |v| = 1. Definiamo f : $R^n$ −→ $R^n$ mediante f(x) = ⟨x,v⟩v, per x ∈ Rn.
(i) Dimostrare che f `e lineare.
(ii) Far vedere che f2 = f.
(iii) Determinare nucleo ed immagine di f.
(iv) Calcolare autovalori ed autospazi di f.
(v) Geometricamente cosa fa f?

da premettere che non ho proprio capito la scrittura..intanto la funziona cosa fa? v non capisco proprio la scrittura... help

[d4ni1]

Dato che lo spazio va da $ RR^n $ a $ RR^n $ si può quindi dedurne che f(x) sarà un vettore, quindi fissato v, f(x) è il prodotto di uno scalare per v, in particolare questo scalare è il prodotto scalare di v per x, almeno questa è la mia interpretazione di quello che hai scritto e mi pare logica.


Messaggio editato. Avevo commesso un imprecisione.

[Pappappero1]

Il prodotto scalare $< . , . >$ associa a una coppia di vettori di $R^n$ uno scalare reale.

Dunque fissato un vettore unitario $v \in R^n$ per calcolare $f(x)$ bisogna calcolare il prodotto scalare $\alpha=$ e si deve calcolare $\alpha v$ che sarà un vettore di $R^n$.

In sostanza la funzione $f$ associa a un vettore $x$ il multiplo di $v$ che ha lunghezza $$.

Sfruttando la linearità del prodotto scalare non dovresti trovare difficoltà nello svolgere il punto (i) e il punto (ii).

Per il punto (iii)e il punto (iv) devi ricordare alcune importanti proprietà del prodotto scalare.

Se poi hai chiaro cosa significa geometricamente fare un prodotto scalare, per fare il punto (v) basta un po' di intuito.