Esercizi di geometria

[fed_27]

Vi propongo un esercizio dove ho alcuni dubbi
tre punti a(1,1,2) b(0,-1,3) c(2,3,1)
sono allineati ? si perche le componenti dei vettori ab e bc sono proporzionali
la retta per questi punti ?
dovrebbe essere questa

r=${(x=1 +1t),(y=1+2t),(x=2-1t):}$
prendere un punto D non appartenente a r a piacere come (1,1,1)
trovare il piano per D e r
ora per rappresentare il piano basta un punto e due vettori non paralleli
basta che prenda il vettore parallelo a r e il vettore parallelo alla retta che congiunge IL punto D e un punto di r

tale vettore dovrebbe avere componenti pari a (1-(1+t),1-(1+2t),1-(2-1t) ) ma se vado a fare il piano con questi dati anche se il parametro di quest'ultima lo chiamo t' mi trovo che i questi sono proporzionali , dove sbaglio?
grazie

[Lord K]

Inizialmente ti conviene scrivere la retta come:

$r:=((1),(1),(2))+t*((1),(2),(-1))$

E da qui il piano che passa per $(1,1,1)$ contenente la retta $r$ sarà del tipo:

$pi:=((1),(1),(2))+t*((1),(2),(-1))+s*omega$

$omega$ deve essere un vettore non sghembo a $r$ e non proporzionale a $((1),(2),(-1))$. Perchè non sia sghembo basta applicarlo sempre a $((1),(1),(2))$ e quindi vettore potrebbe essere:

$omega=((1),(1),(2))-((1),(1),(1))=((0),(0),(1))$

E quindi:

$pi:=((1),(1),(2))+t*((1),(2),(-1))+s*((0),(0),(1))$