Esercizi base di algebra lineare
Salve a tutti,
sono nuova e spero di non sbagliare qualche regola prima di postare questa richiesta di aiuto.
Scrivo perchè sto iniziando a studiare per l'esame di geometria 1 ma io e l'algebra non siamo grandi amici quindi mi perdo in un bicchier d'acqua anche se la complessità dell'esercizio è pari a 0.
Ecco perchè vi chiedo aiuto...
Sto studiando sul Sernesi della Bollati Boringhieri e ho questi esercizi.
Stabilire quali dei seguenti insiemi di vettori sono linearmente indipendenti, quali sono un sistema di generatori dello spazio e quali costruiscono una base:
- in $RR^2$:
a) ${(1,123), (- pi, - pi)}$
d) ${(1,2), (11, -7 sqrt2), (-1,1)}$
- in $RR^3$:
g) ${(1,0,0), (1,1,1), (0,1,2), (-1,-2,-3)}$
Io parto dal presupposto che per capire se rientriamo in uno di questi 3 casi devo comunque analizzare la combinazione lineare di questi vettori.
Cioè, considerando la lettera a), si avrebbe $ (1-pi)a + (123 - pi)b=0$. Giusto?
Scusate le domande demenziali.
Grazie. ciao.
sono nuova e spero di non sbagliare qualche regola prima di postare questa richiesta di aiuto.
Scrivo perchè sto iniziando a studiare per l'esame di geometria 1 ma io e l'algebra non siamo grandi amici quindi mi perdo in un bicchier d'acqua anche se la complessità dell'esercizio è pari a 0.
Ecco perchè vi chiedo aiuto...
Sto studiando sul Sernesi della Bollati Boringhieri e ho questi esercizi.
Stabilire quali dei seguenti insiemi di vettori sono linearmente indipendenti, quali sono un sistema di generatori dello spazio e quali costruiscono una base:
- in $RR^2$:
a) ${(1,123), (- pi, - pi)}$
d) ${(1,2), (11, -7 sqrt2), (-1,1)}$
- in $RR^3$:
g) ${(1,0,0), (1,1,1), (0,1,2), (-1,-2,-3)}$
Io parto dal presupposto che per capire se rientriamo in uno di questi 3 casi devo comunque analizzare la combinazione lineare di questi vettori.
Cioè, considerando la lettera a), si avrebbe $ (1-pi)a + (123 - pi)b=0$. Giusto?
Scusate le domande demenziali.
Grazie. ciao.
Risposte
Non è giusto.
Due vettori sono linearmente indipendenti se $a*vec v_1+b* vec v_2=vec 0$ ammette come unica soluzione $a=b=0$
Nel primo caso hai i vettori $(1,123)$ e $(- pi, - pi)$, quindi $a*(1,123) + b*(- pi, - pi) = (0,0)$ deve essere verificato solo per $a=b=0$, risolvendo l'equazione si ottiene
$(a,123a) + (- pi b, - pi b) = (0,0)$
$(a-pi b, 123 a -pi b)=(0,0)$ cioè $\{(a-pi b = 0),(123 a -pi b = 0):}$
risolvendo il sistema trovi che $a=b=0$, quindi i due vettori sono linearmente indipendenti.
Nel secondo esercizio proposto, invece, la combinazione lineare $ a*(1,2)+ b*(11, -7 sqrt2)+c (-1,1)=(0,0) $ genera il sistema $\{(a+11 b -c = 0),(2 a -7 sqrt2 b +c = 0):}$ che ammette infinite soluzioni, quindi i tre vettori sono dipendenti.
Due vettori sono linearmente indipendenti se $a*vec v_1+b* vec v_2=vec 0$ ammette come unica soluzione $a=b=0$
Nel primo caso hai i vettori $(1,123)$ e $(- pi, - pi)$, quindi $a*(1,123) + b*(- pi, - pi) = (0,0)$ deve essere verificato solo per $a=b=0$, risolvendo l'equazione si ottiene
$(a,123a) + (- pi b, - pi b) = (0,0)$
$(a-pi b, 123 a -pi b)=(0,0)$ cioè $\{(a-pi b = 0),(123 a -pi b = 0):}$
risolvendo il sistema trovi che $a=b=0$, quindi i due vettori sono linearmente indipendenti.
Nel secondo esercizio proposto, invece, la combinazione lineare $ a*(1,2)+ b*(11, -7 sqrt2)+c (-1,1)=(0,0) $ genera il sistema $\{(a+11 b -c = 0),(2 a -7 sqrt2 b +c = 0):}$ che ammette infinite soluzioni, quindi i tre vettori sono dipendenti.
Grazie.
Ora dal fatto che sono due vettori l.i. può seguire che costituiscono una base, e per farlo devo mostrare che formano un sottospazio? In tal caso non saprei come fare, cioè dovrei considerare uno scalare e moltiplicarlo per il vettore e che la somma di due vettori è ancora parte dello spazio vettoriale di partenza.
Ora dal fatto che sono due vettori l.i. può seguire che costituiscono una base, e per farlo devo mostrare che formano un sottospazio? In tal caso non saprei come fare, cioè dovrei considerare uno scalare e moltiplicarlo per il vettore e che la somma di due vettori è ancora parte dello spazio vettoriale di partenza.
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