Esercio su base e dimensione di spazi vettoriali
Sia $V = ( v_1, v_2, v_3, v_4)$ con
$v1 = (3, 7, k + 1, 2k + 2), v2 = (2, 2k + 2, 0, 0), v3 = (1, 1, 0, 0), v4 = (−3, −7, −1, 2k)$
a) Si determini la dimensione di $V $al variare di $k ∈ R$.
b) Si determini una base di $V$ al variare di$ k ∈ R.$
Scrivo la matrice associata
$((3,2,1,-3),(7,2k+2,1,-7),(k+1,0,0,-1),(2k+2,0,0,2))$
e risolvendola ottengo che per $k!=0,-1$ $dim(V)=4=rank(A)$ inoltre $B(V)=(v_1,v_2,v_3,v_4)$
Ora l esercizio mi indica che se $k=0$ la$ dim(V)=3$ e la $B(V)=(v_1,v_3,v_4)$
mentre per $k=-1$ $dim(V)=3$ e la $B(V)=(v_2,v_3,v_4)$
La mia domanda è per quale motivo le due basi per$ k=0 $ e $ k=-1$ differiscono in base a quale criterio sono state inseriti i vettori???
$v1 = (3, 7, k + 1, 2k + 2), v2 = (2, 2k + 2, 0, 0), v3 = (1, 1, 0, 0), v4 = (−3, −7, −1, 2k)$
a) Si determini la dimensione di $V $al variare di $k ∈ R$.
b) Si determini una base di $V$ al variare di$ k ∈ R.$
Scrivo la matrice associata
$((3,2,1,-3),(7,2k+2,1,-7),(k+1,0,0,-1),(2k+2,0,0,2))$
e risolvendola ottengo che per $k!=0,-1$ $dim(V)=4=rank(A)$ inoltre $B(V)=(v_1,v_2,v_3,v_4)$
Ora l esercizio mi indica che se $k=0$ la$ dim(V)=3$ e la $B(V)=(v_1,v_3,v_4)$
mentre per $k=-1$ $dim(V)=3$ e la $B(V)=(v_2,v_3,v_4)$
La mia domanda è per quale motivo le due basi per$ k=0 $ e $ k=-1$ differiscono in base a quale criterio sono state inseriti i vettori???
Risposte
Ciao,
buona vigilia!
Dal fatto che per $k = 0$ e $k=-1$ il rango della matrice non sia 4 ma 3 ti fa capire che uno dei vettori si può scrivere come combinazione lineare degli elementi della base. In base al valore di k può cambiare il vettore.
Nel caso specifico, per $k=0$ il vettore che possiamo scrivere come c.l. degli altri è $v_2=(2,2,0,0)$ che infatti puoi ottere moltiplicando per 2 il vettore $v_3$.
Guarda se hai capito nel caso di $k=-1$.
buona vigilia!
Dal fatto che per $k = 0$ e $k=-1$ il rango della matrice non sia 4 ma 3 ti fa capire che uno dei vettori si può scrivere come combinazione lineare degli elementi della base. In base al valore di k può cambiare il vettore.
Nel caso specifico, per $k=0$ il vettore che possiamo scrivere come c.l. degli altri è $v_2=(2,2,0,0)$ che infatti puoi ottere moltiplicando per 2 il vettore $v_3$.
Guarda se hai capito nel caso di $k=-1$.
"Samy21":
Ciao,
buona vigilia!
Dal fatto che per $k = 0$ e $k=-1$ il rango della matrice non sia 4 ma 3 ti fa capire che uno dei vettori si può scrivere come combinazione lineare degli elementi della base. In base al valore di k può cambiare il vettore.
Nel caso specifico, per $k=0$ il vettore che possiamo scrivere come c.l. degli altri è $v_2=(2,2,0,0)$ che infatti puoi ottere moltiplicando per 2 il vettore $v_3$.
Guarda se hai capito nel caso di $k=-1$.
Dovrebbe essere $v_1$ c.l di $v_4$
però ti chiedo se questo esercizio si posso fare in altro mdo.
ovvero dato ke per $k=0$ il rango diventa 3 è che quindi abbiamo solo 3 vettori linearmente ind. non posso trovarmi i 3 vettori che mi danno rango 3??
Certo che puoi. Basta ridurre per colonne la matrice. Gli elementi che ti rimangono saranno i vettori linearmente indipendenti, cioè quelli che compongono la base.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo