Esempio di spazi non omeomorfi

[5mrkv]

Mi serve un semplice esempio di spazi non omeomorfi perché dotati di un gruppo fondamentale diverso. Non ho avuto il tempo di esercitarmi con la topologia generale quindi non vorrei fare esempi troppo banali che si risolvono subito in modo ortodosso. Mi sembra che ad esempio che \(\mathbb{R}^{2}-\textbf{0}\) abbia un gruppo isomorfo ad \(\mathbb{Z}\) per via del collegamento con \(S^{1}\) e del fatto intuitivo che posso avvolgere un laccio \(z\) volte attorno allo zero in senso orario e \(z\) volte in senso antiorario. Ora, questo non è vero nel caso di \(\mathbb{R}^{2}\) che essendo convesso è dotato del gruppo fondamentale banale. Può andare?

[killing_buddha]

Bouquet composti da un numero diverso di cerchi?

[5mrkv]

Dovrebbe essere sufficientemente intuitivo da potere essere spiegato in poche righe di una introduzione. Sono arrivato fino al paragrafo 59 e purtroppo a parte gli esempi non ho avuto tempo per fare degli esercizi. Se può andare una cosa semplice come in OP metto quella.

[killing_buddha]

$\pi(S^1\vee ... \vee S^2)\cong \mathbb Z * ... * \mathbb Z$ e' sufficientemente corta? forse e' meglio che spieghi a che prerequisiti puoi fare capo.

[5mrkv]

Deve capirla chi abbia qualche rudimento di topologia generale. Ma forse è meglio evitarla nell'introduzione perché rischio di fare confusione spiegando la cosa in poche righe a chi non sa niente di topologia algebrica. Io stesso ho visto pochi esempi.