Esempio di atlanti

[4mrkv]

Example. The space \(\mathbb{R}\) iself has an atlas consisting of the single chart \((i,\mathbb{R})\), there \(i:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\) is just the identity map. This atlas determines a differentiable structure.

Per struttura differenziabile si intende una classe di equivalenza di atlanti di classe \(C^{r}\). Siccome c'è una corrispondenza biunivoca fra classi e atlanti massimali (l'unione degli atlanti della classe) il libro dice che con struttura ci si può riferire direttamente all'atlante massimale.

In che modo l'atlante dell'esempio determina una struttura differenziabile? Direi nel senso proprio del termine. Potrei considerare con \(\epsilon>0\) l'atlante con le carte \((i,(-\infty,\epsilon))\) e \((i,(-\epsilon,\infty,))\). Sono equivalenti a quella data nell'esempio e quindi la loro unione determina un atlante più grande, quindi l'atlante con solo \((i,\mathbb{R})\) non può essere massimale.

Segue che determina una classe. Quale può essere un atlante di \(\mathbb{R}\) non equivalente all'atlante con singola mappa \((i,\mathbb{R})\)? Bisognerebbe ad esempio che data una carta \((f,E)\) dell'atlante cercato si abbia \(f(E)\) aperto come dalla definizione di carta e contemporaneamente \(i(\mathbb{R}\cap E)=i(E)=E\) (segue la non equivalenza) non aperto.

[apatriarca]

La determina perché ogni elemento di una classe di equivalenza può essere scelto come rappresentante di quella classe e non solo quello massimale. Pensa ad esempio alla classe di equivalenza modulo \(n\). Si scelgono normalmente come rappresentanti i numeri da \(0\) a \(n-1\), ma qualsiasi numero intero può essere usato come rappresentante di una classe. Hai infatti ad esempio che \(1 \pmod 6\) e \(7 \pmod 6\) rappresentano la stessa classe di equivalenza. La scelta di usare gli atlanti massimali in questo caso è che si può sempre supporre l'esistenza delle carte di cui si ha bisogno..

[4mrkv]

Ok, grazie.