Esempio concreto per la proposizione
Salve a tutti,
Vorrei un esempio concreto per la seguente proposizione:
Sia $n \geq 2$ naturale e siano $A$ e $B$ due matrici $n\times n$ a coefficienti complessi. Si consideri la matrice definita a blocchi ($2n\times\2n$) come segue:$$N:=\begin{pmatrix} A & O \\O & B \end{pmatrix}$$Si suppone che lo spazio $\mathbb{C}^{2n}$ ammetta una base ciclica per $N$. La tesi è che esiste una base ciclica per $A$ e $B$.
Nel tentativo di cercare l'esempio ho provato ad affrontare la questione con una dimostrazione costruttiva. La nascondo per motivi di leggibilità della domanda:
Torna secondo voi come dimostrazione costruttiva della porposizione? Se sì, da qui riesco a costruirmi un esempio?
Grazie in anticipo per una eventuale risposta.
Vorrei un esempio concreto per la seguente proposizione:
Sia $n \geq 2$ naturale e siano $A$ e $B$ due matrici $n\times n$ a coefficienti complessi. Si consideri la matrice definita a blocchi ($2n\times\2n$) come segue:$$N:=\begin{pmatrix} A & O \\O & B \end{pmatrix}$$Si suppone che lo spazio $\mathbb{C}^{2n}$ ammetta una base ciclica per $N$. La tesi è che esiste una base ciclica per $A$ e $B$.
Nel tentativo di cercare l'esempio ho provato ad affrontare la questione con una dimostrazione costruttiva. La nascondo per motivi di leggibilità della domanda:
Torna secondo voi come dimostrazione costruttiva della porposizione? Se sì, da qui riesco a costruirmi un esempio?
Grazie in anticipo per una eventuale risposta.
Risposte
Da cosa deduci che $A^k=0$ se $k geq n$? Non credo che hai questa ipotesi.
Per mostrare che $\{A^{n-1}v_A,...,Av_A,v_A\}$ è una base di $CC^n$ basta (ovviamente) mostrare che è linearmente indipendente quindi comincerei a scrivere $a_{n-1}A^{n-1}v_A+...+a_1Av_A+a_0v_A=0$ e poi moltiplicherei questa uguaglianza a destra e a sinistra per $A^i$ per ogni $i=1,...,n$. Per capire cosa succede puoi esaminare il caso $n=2$.
Per mostrare che $\{A^{n-1}v_A,...,Av_A,v_A\}$ è una base di $CC^n$ basta (ovviamente) mostrare che è linearmente indipendente quindi comincerei a scrivere $a_{n-1}A^{n-1}v_A+...+a_1Av_A+a_0v_A=0$ e poi moltiplicherei questa uguaglianza a destra e a sinistra per $A^i$ per ogni $i=1,...,n$. Per capire cosa succede puoi esaminare il caso $n=2$.
"Martino":
Da cosa deduci che $A^k=0$ se $k geq n$? Non credo che hai questa ipotesi.
Per mostrare che $\{A^{n-1}v_A,...,Av_A,v_A\}$ è una base di $CC^n$ basta (ovviamente) mostrare che è linearmente indipendente quindi comincerei a scrivere $a_{n-1}A^{n-1}v_A+...+a_1Av_A+a_0v_A=0$ e poi moltiplicherei questa uguaglianza a destra e a sinistra per $A^i$ per ogni $i=1,...,n$. Per capire cosa succede puoi esaminare il caso $n=2$.
Hai ragione! Grazie della risposta e dell'aiuto Martino.
Dunque, moltiplicando $A$ iterativamente ad $a_{n-1}A^{n-1}v_A+...+a_1Av_A+a_0v_A=0$ ho (dalle ipotesi) che $A^{2n}v_A=0$ perchè $N^{2n}v=0$. Dunque ottengo:
prima iterazione: $a_{n-1}A^{n}v_A+...+a_1A^2v_A+a_0Av_A=0$ da cui $a_{n-2}A^{n-1}v_A+...+a_1A^2v_A+a_0Av_A=0$
seconda iterazione: $a_{n-2}A^{n-1}v_A+...+a_1A^2v_A+a_0Av_A=0$ da cui $a_{n-3}A^{n-1}v_A+...+a_1A^3v_A+a_0A^2v_A=0$
e proseguendo
$a_{0}A^{2n-1}v_A=0$ da cui $a_0=0$ poichè $A^{2n-1}v_A \ne 0$.
Procedendo (risolvendo il sistema ottenuto) a ritroso ottengo che $a_0=...=a_{n-1}=0$, da cui l'indipendenza.
Giusto?
Se è giusto, dall'idea di questa dimostrazione riesco a costruirmi una matrice diagonale a blocchi che ammetta una base ciclica per $\mathbb{C}^{2n}$ e tale che sia $A$ che $B$ la ammettano a loro volta (come quella nell'ipotesi)? Non riesco proprio a trovarla. Quando penso ad una matrice che ammette una base ciclica mi vengono in mente solo esempi con blocchi di Jordan nilpotenti. Solo che un blocco di Jordan nilpotente non è diagonale a blocchi... non so se ho spiegato bene il mio dubbio.
grazie ancora
Scusa, perché $N^{2n}v=0$? E' un'ipotesi?
Puoi dare la definizione di base ciclica?
Puoi dare la definizione di base ciclica?
"Martino":
Scusa, perché $N^{2n}v=0$? E' un'ipotesi?
Puoi dare la definizione di base ciclica?
No, non è per ipotesi. Ho sbagliato sicuramente.
Come definizione io so questa: dato un endomorfismo $f$ di $V$ spazio vettoriale (di dimensione finita), se esiste un vettore $v\in V$ non nullo tale che $\mathcal{B}={f^{n-1}(v), f^{n-2}(v), ..., f(v), v}$ sia una base di $V$, allora $\mathcal{B}$ è detto base ciclica di $V$ per l'endomorfismo $f$.
Te l'ho scritta così come mi è venuta in mente quando ho scritto il post di cui sopra così se ho sbagliato mi dici dove...
Ora, io fino ad oggi credo di aver sempre sentito parlare di basi cicliche quando ho avuto a che fare con endomorfismi nilpotenti. Capisco che nella definizione che ti ho dato pocanzi, questo non c'è scritto da nessuna parte. Però probabilmente il mio errore immagino sia stato dare per scontato che $N^{2n}=0$ proprio perchè non ho in mente esempi di matrici che ammettano una base ciclica pur non essendo nilpotenti.
Da qui il titolo di tutta la discussione.
Ti ringrazio.
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