Esame + Soluzione/ Dubbio intersezione sottospazi

[AntonioLR]

Salve.. Mi chiedevo se poteste valutare la mia soluzione a questo compito d'esame, e darmi qlk consiglio in particolare sul terzo punto, che riguarda l'intersezione tra due sottospazi, che nella mia soluzione da un risultato inaspettato. Vi ringrazio in anticipo per tutto l'aiuto che vogliate offrirmi, e sono sempre qui disponibile per ogni chiarimento sugli orrori che devo aver fatto e sulla "logica" che credo di aver seguito. =)

1. Sia A= $ ({: ( 1 , 1 , 0 ),( 0 , 1 , 1 ),( 0 , 0 , 1 ) :}) $; dimostrare che, $ AA n in ZZ $, $ A^{n} = ({: ( 1 , n , (n(n-1))/2 ),( 0 , 1 , n ),( 0 , 0 , 1 ) :}) $

Per induzione:

per n = 1 ---> $ A^{1}=({: ( 1 , 1 , 0 ),( 0 , 1 , 1 ),( 0 , 0 , 1 ) :})=A $
per n+1 ---> $ A^{n+1} = A^{n} A = ({: ( 1 , n , (n(n-1))/2 ),( 0 , 1 , n ),( 0 , 0 , 1 ) :}) ({: ( 1 , 1 , 0 ),( 0 , 1 , 1 ),( 0 , 0 , 1 ) :}) = ({: ( 1 , n+1 , (n(n+1))/2 ),( 0 , 1 , n+1 ),( 0 , 0 , 1 ) :}) $

CVD

2. Sia $ V = {f in RR[x]{: :}_(5) | f(A)=0} $ . Calcolare la dimensione ed una base di V.

$ f = a + bx + cx^{2} + dx^{3} + ex^{4} + fx^{5} $
$ f(A) = aI + bA + cA^{2} + dA^{3} + eA^{4} + fA^{5}=ul(0) $

Da cui si ottiene

$ ({: ( a+b+c+d+e+f , b+2c+3d+4e+5f , c+3d+6e+10f ),( 0 , a+b+c+d+e+f , b+2c+3d+4e+5f ),( 0 , 0 , a+b+c+d+e+f ) :})=ul(0) $

E risolvendo il sistema lineare associato si ottiene:

$ { ( a=-d-3e-6f ),( b=3d+8e+15f ),( c=-3d-6e-10f ):} $

E' ovvio che $ dim{::}_( RR )V=3 $ ed una base sarà ad esempio $ B = {x^{3}-3x^{2}+3x-1, x^{4}-6x^{2}+8x-3, x^{5}-10x^{2}+15x-6 } $

3. Sia $W{: :}_(k)={f in RR[x]{: :}_(5)$ | f è multiplo di $x^{3}-x^{2}-x+k}$. Determinare una base di $V nn W{: :}_(k)$, al variare di k.

Un generico multiplo, al più di quinto grado del polinomio dato sarà scritto nella forma $(alphax^{2}+betax+gamma)(x^{3}-x^{2}-x+k)$.
Allora, attribuendo valori arbitrari ad alfa beta e gamma otterremo una base di $W{: :}_(k)$, che sarà ad esempio $C={x^{5}-x^{4}-x^{3}+kx^{2}, x^{4}-x^{3}-x^{2}+kx, x^{3}-x^{2}-x+k}$
Per trovare le equazioni canoniche scrivo la seguente matrice

$ ({: ( a , b , c , d , e , f ),( 0 , 0 , k , -1 , -1 , 1 ),( 0 , k , -1 , -1 , 1 , 0 ),( k , -1 , -1 , 1 , 0 , 0 ) :}) $

considero il minore non nullo $ ({: ( -1 , -1 , 1 ),( -1 , 1 , 0 ),( 1 , 0 , 0 ) :}) $ e ne annullo gli orlati; ne consegue il sistema

$ { ( | ( c , d , e , f ),( k , -1 , -1 , 1 ),( -1 , -1 , 1 , 0 ),( -1 , 1 , 0 , 0 ) | = 0),( | ( b , d , e , f ),( 0 , -1 , -1 , 1 ),( k , -1 , 1 , 0 ),( -1 , 1 , 0 , 0 ) | = 0),( | ( a , d , e , f ),( 0 , -1 , -1 , 1 ),( 0 , -1 , 1 , 0 ),( k , 1 , 0 , 0 ) | = 0):} $

che, calcolati i determinanti di quarto ordine con Laplace diventa

$ { ( -2e+(k-3)f-d-c=0 ),( (k-1)e+2(k-1)f-b-d=0 ),( -a+ke+kd+2kf=0 ):} $

per ottenere l'intersezione allora mettiamo a sistema le equazioni cartesiane dei 2 sottospazi, ottenendo;

$ { ( a=-d-3e-6f ),( b=3d+8e+15f ),( c=-3d-6e-10f ),( -2e+(k-3)f-d-c=0 ),( (k-1)e+2(k-1)f-b-d=0 ),( -a+ke+kd+2kf=0 ):} $

Risolto solo dalle sestupla di vaolori (0,0,0,0,0,0), per ogni valoer di k. (possibile che risulti così??)

4. Sia $p=(x-1)^{3}$. Determinare gli autospazi dell'endomorfismo $phi:V->V$, la cui matrice associata rispetto alla base $(p, xp, x^{2}p)$ è $A+A^{-2}$

$ A+A^{-2}= ({: ( 1 , 1 , 0 ),( 0 , 1 , 1 ),( 0 , 0 , 1 ) :})+({: ( 1 , -2 , 3 ),( 0 , 1 , -2 ),( 0 , 0 , 1 ) :}) = ({: ( 2 , -1 , 3 ),( 0 , 2 , -1 ),( 0 , 0 , 2 ) :}) $
$P(t)= {: |( 2-t , -1 , 3 ),( 0 , 2-t , -1 ),( 0 , 0 , 2-t )| :} =0$ da cui segue che l'unico autovalore è 2 con molteplicità algebrica 3.

L'autospazio associato a questo autovaolore sarà

$V{: :}_(2)=({: ( 0, -1, 3 ),( 0, 0, -1 ),( 0, 0, 0 ) :})$ da cui segue $dim{: :}_(RR)Ker phi{: :}_(2)=1$

$ { ( -y+3z=0 ),( -z=0 ):} $ da cui segue $Ker phi{: :}_(2)=cc(L)((x-1)^{3})

Grazie a tutti coloro che volessero intevenire.
Antonio LR

[AntonioLR]

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