Esame Algebra Lineare
Salve a tutti, sto preparando l'esame di algebra lineare e nei testi precedenti cè questo esercizio:
Consideriamo i vettori $v_1 = (1,-1,3), v_2 = (-1,0,2) , v_3 = (-2,1,1), v = (0,t,5) sia V = Span(v1,v2 ,v3 )$.
Il vettore v appartiene a V:
(le possibili risposte sono le seguenti)
A- per ogni valore di t;
B- per t=0;
C- per nessun valore di t;
D- per t=-1.
Secondo me bisogna procedere in questo modo: calcolare lo span di V:
$|(1,-1,-2,x),(-1,0,1,y),(3,2,1,z)|$
applico la riduzione di Gauss e trovo:
$|(1,-1,2|,x),(0,-1,-1|,x-y),(0,0,2|,5x-5y-z)|$
quindi il mio sottospazio ha come equazione cartesiana:
$5x-5y-z=2$
adesso come faccio a vedere se il vettore $v$ appartiene a $V$???
Scusate ho corretto perchè avevo sbagliato a scrivere!!!!
Consideriamo i vettori $v_1 = (1,-1,3), v_2 = (-1,0,2) , v_3 = (-2,1,1), v = (0,t,5) sia V = Span(v1,v2 ,v3 )$.
Il vettore v appartiene a V:
(le possibili risposte sono le seguenti)
A- per ogni valore di t;
B- per t=0;
C- per nessun valore di t;
D- per t=-1.
Secondo me bisogna procedere in questo modo: calcolare lo span di V:
$|(1,-1,-2,x),(-1,0,1,y),(3,2,1,z)|$
applico la riduzione di Gauss e trovo:
$|(1,-1,2|,x),(0,-1,-1|,x-y),(0,0,2|,5x-5y-z)|$
quindi il mio sottospazio ha come equazione cartesiana:
$5x-5y-z=2$
adesso come faccio a vedere se il vettore $v$ appartiene a $V$???
Scusate ho corretto perchè avevo sbagliato a scrivere!!!!
Risposte
l'equazione che tu hai scritto non rappresenta un sottospazio vettoriale perchè non è omogenea
il sottospazio vettoriale di cui parliamo è costituito dai vettori del tipo $lambda(1,-1,3)+mu(-1,0,2)=(lambda-mu,-lambda,3lambda+2)$
$(lambda-mu,-lambda,3lambda+2)=(0,t,5)$ se, e solo se, $ { ( lambda=1 ),( mu=1 ),(
t=-1 ):} $
ovviamente,siccome avevi sbagliato a scrivere il testo la mia soluzione non è più valida
il sottospazio vettoriale di cui parliamo è costituito dai vettori del tipo $lambda(1,-1,3)+mu(-1,0,2)=(lambda-mu,-lambda,3lambda+2)$
$(lambda-mu,-lambda,3lambda+2)=(0,t,5)$ se, e solo se, $ { ( lambda=1 ),( mu=1 ),(
t=-1 ):} $
ovviamente,siccome avevi sbagliato a scrivere il testo la mia soluzione non è più valida
"stormy":
l'equazione che tu hai scritto non rappresenta un sottospazio vettoriale perchè non è omogenea
il sottospazio vettoriale di cui parliamo è costituito dai vettori del tipo $lambda(1,-1,3)+mu(-1,0,2)=(lambda-mu,-lambda,3lambda+2)$
$(lambda-mu,-lambda,3lambda+2)=(0,t,5)$ se, e solo se, $ { ( lambda=1 ),( mu=1 ),(
t=-1 ):} $
mi dispiace ma non riesco a capire il tuo ragionamento!
Qualcuno molto gentilmente può darmi una mano? Vi ringrazio tutti!
@johack,
se \( v \in V = \operatorname{Span}(v_1,v_2 ,v_3 )\) allora \( v \) è combinazione linerare di \((v_1,v_2 ,v_3 )\), ergo devi fare vedere secondo la definizione se \( \exists \alpha_1,\alpha_2,\alpha_3 \in \Bbb{R}(v=\sum_{i=1}^3\alpha_iv_i)\)!!
Saluti
P.S.= Non ho letto quello che hai fatto..
edit: ok ho letto cosa hai fatto, puoi spiegare come mai hai deciso di fare in quel modo .. le equazioni cartesiane sono in numero, in questo caso e avendo \(V \) sottospazio di \(\Bbb{R}^3\) e \(\dim_\Bbb{R}(V)=r\), \(3-r\)..
Ti domando "quanto vale \(r\)?"..
"johack":
Salve a tutti, sto preparando l'esame di algebra lineare e nei testi precedenti cè questo esercizio:
Consideriamo i vettori \(v_1 = (1,-1,3), v_2 = (-1,0,2) , v_3 = (-2,1,1), v = (0,t,5)\), sia \(V = \operatorname{Span}((v_1,v_2 ,v_3 ))\).
Il vettore \(v\) appartiene a \(V\):
(le possibili risposte sono le seguenti)
A- per ogni valore di \(t\);
B- per \(t=0\);
C- per nessun valore di \(t\);
D- per \(t=-1\).
se \( v \in V = \operatorname{Span}(v_1,v_2 ,v_3 )\) allora \( v \) è combinazione linerare di \((v_1,v_2 ,v_3 )\), ergo devi fare vedere secondo la definizione se \( \exists \alpha_1,\alpha_2,\alpha_3 \in \Bbb{R}(v=\sum_{i=1}^3\alpha_iv_i)\)!!
Saluti
P.S.= Non ho letto quello che hai fatto..
edit: ok ho letto cosa hai fatto, puoi spiegare come mai hai deciso di fare in quel modo .. le equazioni cartesiane sono in numero, in questo caso e avendo \(V \) sottospazio di \(\Bbb{R}^3\) e \(\dim_\Bbb{R}(V)=r\), \(3-r\)..
Ti domando "quanto vale \(r\)?"..
Ho fatto in quel modo, perchè cercando su internet proponevano quella soluzione. Non so quanto vale $r$ 
@johack,
concordi che \( V \) è sottospazio vettoriale di \( \Bbb{R}^3\)? I tre vettori che generano \( V \) sono liberi?
Saluti
"johack":
Ho fatto in quel modo, perchè cercando su internet proponevano quella soluzione. Non so quanto vale $r$
concordi che \( V \) è sottospazio vettoriale di \( \Bbb{R}^3\)? I tre vettori che generano \( V \) sono liberi?
Saluti
"garnak.olegovitc":
concordi che \( V \) è sottospazio vettoriale di \( \Bbb{R}^3\)?$SI$ I tre vettori che generano \( V \) sono liberi?$SI$
Saluti
@johack,
bene allora sono base per \( V \) e \(r=\dim_\Bbb{R}(V)=3\).. perciò avrai \(n=0\) equazioni cartesiane..!!
Saluti
bene allora sono base per \( V \) e \(r=\dim_\Bbb{R}(V)=3\).. perciò avrai \(n=0\) equazioni cartesiane..!!
Saluti
"garnak.olegovitc":
@johack,
bene allora sono base per \( V \) e \(r=\dim_\Bbb{R}(V)=3\).. perciò avrai \(n=0\) equazioni cartesiane..!!
Saluti
ok ma come faccio a verificare se $v$ appartiene a $V$???
@johack,
per ipotesi hai \(v_1 = (1,-1,3), v_2 = (-1,0,2) , v_3 = (-2,1,1), v = (0,t,5)\), e \(V = \operatorname{Span}((v_1,v_2 ,v_3 ))\), abbiamo detto che se \( v \in V \) allora \(\exists \alpha_1,\alpha_2,\alpha_3 \in \Bbb{R}(v=\sum_{i=1}^3\alpha_iv_i)\), ti basta calcolare \(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\) dalla condizione \(v=\sum_{i=1}^3\alpha_iv_i\)
Saluti
per ipotesi hai \(v_1 = (1,-1,3), v_2 = (-1,0,2) , v_3 = (-2,1,1), v = (0,t,5)\), e \(V = \operatorname{Span}((v_1,v_2 ,v_3 ))\), abbiamo detto che se \( v \in V \) allora \(\exists \alpha_1,\alpha_2,\alpha_3 \in \Bbb{R}(v=\sum_{i=1}^3\alpha_iv_i)\), ti basta calcolare \(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\) dalla condizione \(v=\sum_{i=1}^3\alpha_iv_i\)
Saluti
Devo risolvere questo sistema:
$\{(\alpha_1-\alpha_2+2\alpha_3 =0), (-\alpha_1+\alpha_3=t),(3\alpha_1+2\alpha_2+\alpha_3=5):}$
$\{(\alpha_1-\alpha_2+2\alpha_3 =0), (-\alpha_1+\alpha_3=t),(3\alpha_1+2\alpha_2+\alpha_3=5):}$
@johack,
finalmente , il punto è quello, per le finalità dell'esercizio quel sistema deve essere compatibile, cioè ammettere soluzioni, ergo deve esistere \(A:=(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)\in \Bbb{R}^3\) tale che \(A\) sia soluzione del sistema.. cosa puoi dire in merito?
Saluti
P.S.= comunque è \( -2\alpha_3\)
"johack":
Devo risolvere questo sistema:
$\{(\alpha_1-\alpha_2+2\alpha_3 =0), (-\alpha_1+\alpha_3=t),(3\alpha_1+2\alpha_2+\alpha_3=5):}$
finalmente
, il punto è quello, per le finalità dell'esercizio quel sistema deve essere compatibile, cioè ammettere soluzioni, ergo deve esistere \(A:=(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)\in \Bbb{R}^3\) tale che \(A\) sia soluzione del sistema.. cosa puoi dire in merito?Saluti
P.S.= comunque è \( -2\alpha_3\)
Ho provato a risolvere il sistema e ottengo soluzioni in funzione di t.
$\alpha_1=25/2 +6t$
$\alpha_2=4t+15/2$
$\alpha_3=-5/2 -t$
$\alpha_1=25/2 +6t$
$\alpha_2=4t+15/2$
$\alpha_3=-5/2 -t$
@ johack
preso atto del fatto che avevi sbagliato a scrivere il testo e che quindi la mia prima soluzione non è valida,è ovvio che, se $v_1,v_2,v_3$ sono una base di $mathbbR^3$,$t$ può valere quanto gli pare
non so se è chiaro,ma $V=mathbbR^3$
preso atto del fatto che avevi sbagliato a scrivere il testo e che quindi la mia prima soluzione non è valida,è ovvio che, se $v_1,v_2,v_3$ sono una base di $mathbbR^3$,$t$ può valere quanto gli pare
non so se è chiaro,ma $V=mathbbR^3$
Quindi la risposta corretta è per ogni valore di t?
esatto
"stormy":
esatto
perchè avevi proceduto nell'altro modo? e avendo come risultato $t=-1$??
l'ho risolto prima che tu correggessi il testo
"stormy":
l'ho risolto prima che tu correggessi il testo
si si questo lho capito, vorrei solo capire xkè hai proceduto in quel modo?
perchè nella prima versione mi risultava che $V$ avesse dimensione $2$ , fosse generato da $v_1$ e $v_2$ e che quindi tutti i suoi vettori fossero del tipo $lambdav_1+muv_2$
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