Es su spazio dei polinomi (nucleo, autovalori,autovettori)
Dovre risolvere il seguente eserciazio:
Denotiamo con $R_2$ [x] lo spazio dei polinomi di grado <=2 a coefficienti reali.Sia L: $R_2$ [x] -> $R_2$ [x] l'applicazione lineare cosi definita:
L(p(x))=p'(x)+p''(x) ove p'(x) e p''(x) denotano la derivata prima e seconda del polinomi p.
Determinare:
(a) Nucleo e immagine di L
(b) la matrice rappresentativa di L rispetto alla base {1,x,x^2}
(c) autovalori e autovettori
(d) se L è diagonalizzabile
Il mio problema non è lo svolgimento dell'esercizio ma la forma con cui viene presentata L, di solito a lezione veniva presentata o gia nella forma della matrice rappresentativa o nella forma L(x,y,z)={(x,x+y,y-3z)...}, in questa forma non so assolutamente come fare!! qlc puoi aiutarmi??
L'unica cosa ke mi è ven uta in mente è la seguente:
L(p(x))=2ax+b + 2a = 2a(x+1)+b (ovvero ho eseguito le derivate).. ma poi non so come procedere..
Grazie mille
Rickp
Denotiamo con $R_2$ [x] lo spazio dei polinomi di grado <=2 a coefficienti reali.Sia L: $R_2$ [x] -> $R_2$ [x] l'applicazione lineare cosi definita:
L(p(x))=p'(x)+p''(x) ove p'(x) e p''(x) denotano la derivata prima e seconda del polinomi p.
Determinare:
(a) Nucleo e immagine di L
(b) la matrice rappresentativa di L rispetto alla base {1,x,x^2}
(c) autovalori e autovettori
(d) se L è diagonalizzabile
Il mio problema non è lo svolgimento dell'esercizio ma la forma con cui viene presentata L, di solito a lezione veniva presentata o gia nella forma della matrice rappresentativa o nella forma L(x,y,z)={(x,x+y,y-3z)...}, in questa forma non so assolutamente come fare!! qlc puoi aiutarmi??
L'unica cosa ke mi è ven uta in mente è la seguente:
L(p(x))=2ax+b + 2a = 2a(x+1)+b (ovvero ho eseguito le derivate).. ma poi non so come procedere..
Grazie mille
Rickp
Risposte
non è difficile trovare la matrice di rappresentazione nella base ${1,x,x^2}$
basta calcolare l'immagine $L(x^2)=2x+2,L(x)=1,L(1)=0$ e metterli in colonna
$((0,1,2),(0,0,2x),(0,0,0))$
da qui immagino sai cosa fare
spero di non aver sbagliato i conti
basta calcolare l'immagine $L(x^2)=2x+2,L(x)=1,L(1)=0$ e metterli in colonna
$((0,1,2),(0,0,2x),(0,0,0))$
da qui immagino sai cosa fare
spero di non aver sbagliato i conti
Per calcolare la matrice ho capito... è proprio semplice!! Ma non mi era passato per la testa, una volta ottenuta la matrice trovo autovalori e autovettori su questa,giusto?
Mi rimane però il dubbio su come calcolare il nuclelo e l'immagine visto ke prima devo calcolare questi e poi la matrice..??
Cioe il nucleo di solito lo faccio facendo il sistema ottenuto dalla matrice rappresentativa..
Scusate per le domande banali ma ho qualche problema con matematica discreta
Mi rimane però il dubbio su come calcolare il nuclelo e l'immagine visto ke prima devo calcolare questi e poi la matrice..??
Cioe il nucleo di solito lo faccio facendo il sistema ottenuto dalla matrice rappresentativa..
Scusate per le domande banali ma ho qualche problema con matematica discreta
"rickp":
Mi rimane però il dubbio su come calcolare il nuclelo e l'immagine visto ke prima devo calcolare questi e poi la matrice..??
Non farti imprigionare dall'ordine con cui sono poste le domande
Se ti è utile trovare la matrice prima del nucleo o dell'immagine, e sia!
Vi ringrazio..
ma conitnuo ad avere problemi con questo esercizio:
1-nella matrice non dovrei avere solo i coefficienti?? e xcio niente x??
2-Il sistema x trovare il nucleo come viene??
cosi:
1y+2z=0
2x=0
0=0
e xcio x=0, y=0 e z=0...uhm.. mi sembra strano.. mi sto incasinando...
3- Ha senso usare x,y,z in questo caso?? intendo con questa applicazione??
Vi ringrazio moltissimo per l'aiuto ke mi state dando
ma conitnuo ad avere problemi con questo esercizio:
1-nella matrice non dovrei avere solo i coefficienti?? e xcio niente x??
2-Il sistema x trovare il nucleo come viene??
cosi:
1y+2z=0
2x=0
0=0
e xcio x=0, y=0 e z=0...uhm.. mi sembra strano.. mi sto incasinando...
3- Ha senso usare x,y,z in questo caso?? intendo con questa applicazione??
Vi ringrazio moltissimo per l'aiuto ke mi state dando
sisi
il 2x è un due in realtà stamattina l'avevo visto ma mi sono scordato di avvertirti
per trovare il nucleo fai Ax=0 (A è la matrice del sistema) e risolvi
$((0,1,2),(0,0,2),(0,0,0))((x),(y),(z))=((0),(0),(0))$ ottieni $x+2y=0,y=0$ che ha soluzione $x=0,y=0$ quindi il ker è il sottospazio generato da $((0),(0),(1))$ (z=0 non c'è come equazione!)
spero di essere stato chiaro, ciao
il 2x è un due in realtà stamattina l'avevo visto ma mi sono scordato di avvertirti
per trovare il nucleo fai Ax=0 (A è la matrice del sistema) e risolvi
$((0,1,2),(0,0,2),(0,0,0))((x),(y),(z))=((0),(0),(0))$ ottieni $x+2y=0,y=0$ che ha soluzione $x=0,y=0$ quindi il ker è il sottospazio generato da $((0),(0),(1))$ (z=0 non c'è come equazione!)
spero di essere stato chiaro, ciao
"rickp":
Mi rimane però il dubbio su come calcolare il nuclelo e l'immagine visto ke prima devo calcolare questi e poi la matrice..?? Cioe il nucleo di solito lo faccio facendo il sistema ottenuto dalla matrice rappresentativa.
Il metodo della matrice di rappresentazione non ha nulla che non vada. In alternativa, comunque, puoi ragionare così: un generico vettore di $RR_2[x]$ è un polinomio del tipo $p(x) = ax^2 + bx + c$, in cui $a,b,c\in RR$. Allora $L(p(x)) = p'(x) + p''(x) = (2ax + b) + 2a = 2ax + (2a+b)$, i.e. $L(RR_2[x]) = RR_1[x]$. Inoltre $L(p(x)) = 0$ sse $2a = 2a+b = 0$, i.e. $a = b = 0$ - sicché ker(L) è il sottospazio (di $RR_2[x]$) dei polinomi costanti.
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