Es su matrice ortogonale
Mi potete dire se è giusto? "Determinare, se esiste, una matrice ortogonale P tale che $P^-1CP$ sia diagonale, essendo $C=((1,0,-1),(0,0,0),(-1,0,1))$". Io ho ragionato così. Trovo gli autovalori relativi all'endomorfismo di quella matrice C:
$|A-\lambdaI|=0 => \lambda^2(-\lambda+2)=0 => {(\lambda_(1,2)=0),(\lambda_3=2):}$
Risolvendo l'equazione caratteristica per $\lambda_(1,2)=0$, l'autospazio $E(\lambda_(1,2)=0)={s((1),(0),(1))+t((0),(1),(0))}$, mentre per $\lambda_3=2$ trovo l'autospazio $E(\lambda_3=2)={t((1),(0),(1))}$. Per cui la matrice dell'endomorfismo rispetto alla base $B={((1),(0),(1)),((0),(1),(0)),((1),(0),(1))}$ è $A'=((0,0,0),(0,0,0),(0,0,2))$. Adesso, la matrice P sarebbe la matrice del passaggio di base dalla canonica a quella formata dagli autovettori, ovvero $P=((0,0,0),(0,0,0),(0,0,2))$. E visto che $P^tP=((2,0,0),(0,1,0),(0,0,2))$, non esiste una matrice ortogonale P tale che $P^-1CP$ sia diagonale.
Grazie
$|A-\lambdaI|=0 => \lambda^2(-\lambda+2)=0 => {(\lambda_(1,2)=0),(\lambda_3=2):}$
Risolvendo l'equazione caratteristica per $\lambda_(1,2)=0$, l'autospazio $E(\lambda_(1,2)=0)={s((1),(0),(1))+t((0),(1),(0))}$, mentre per $\lambda_3=2$ trovo l'autospazio $E(\lambda_3=2)={t((1),(0),(1))}$. Per cui la matrice dell'endomorfismo rispetto alla base $B={((1),(0),(1)),((0),(1),(0)),((1),(0),(1))}$ è $A'=((0,0,0),(0,0,0),(0,0,2))$. Adesso, la matrice P sarebbe la matrice del passaggio di base dalla canonica a quella formata dagli autovettori, ovvero $P=((0,0,0),(0,0,0),(0,0,2))$. E visto che $P^tP=((2,0,0),(0,1,0),(0,0,2))$, non esiste una matrice ortogonale P tale che $P^-1CP$ sia diagonale.
Grazie
Risposte
Parte del tuo ragionamento è corretto e parte no. Vediamo.
La matrice $C$ di partenza è simmetrica perciò, per un teorema dell'algebra lineare, è certamente diagonalizzabile mediante una matrice ortogonale (è ortogonalmente diagonalizzabile). Gli autovalori che hai calcolato sono corretti, è corretto anche l'autospazio relativo all'autovalore $0$
$E(\lambda_(1,2)=0)={s((1),(0),(1))+t((0),(1),(0))}$
mentre l'autospazio relativo all'autovalore $2$ è il seguente
$E(\lambda_3=2)={t((1),(0),(-1))}$
Per costruire la matrice $P$ ortogonale del cambiamento di base si deve individuare una base ortonormale di autovettori. Per far ciò bisogna ortonormalizzare i tre autovettori trovati. Tenendo conto che i due autospazi sono già di per sé sempre ortogonali è sufficiente ortonormalizzare i singoli autospazi. L'autospazio relativo all'autovalore $2$ diventa quindi
$E(\lambda_3=2)={t((1/sqrt2),(0),(-1/sqrt2))}$
I due autovettori relativi a $0$ sono già ortogonali (si verifica facilmente eseguendo il loro prodotto scalare) perciò bisogna solo normalizzarli singolarmente e si ottiene
$E(\lambda_(1,2)=0)={s((1/sqrt2),(0),(1/sqrt2))+t((0),(1),(0))}$
Da cui
$P=((1/sqrt2,0,1/sqrt2),(0,1,0),(1/sqrt2,0,-1/sqrt2))$
e risulta
$P^tP=((1,0,0),(0,1,0),(0,0,1))$
Nel caso piú generale in cui gli autovettori dello stesso autospazio non fossero ortogonali è necessario utilizzare il procedimento di ortonormalizzazione di Gram-Schmidt (dovreste averlo studiato).
Eseguendo il calcolo (io non l'ho fatto ma è una utile verifica...) risulterà
$P^tCP=((0,0,0),(0,0,0),(0,0,2))$
Ti torna?
La matrice $C$ di partenza è simmetrica perciò, per un teorema dell'algebra lineare, è certamente diagonalizzabile mediante una matrice ortogonale (è ortogonalmente diagonalizzabile). Gli autovalori che hai calcolato sono corretti, è corretto anche l'autospazio relativo all'autovalore $0$
$E(\lambda_(1,2)=0)={s((1),(0),(1))+t((0),(1),(0))}$
mentre l'autospazio relativo all'autovalore $2$ è il seguente
$E(\lambda_3=2)={t((1),(0),(-1))}$
Per costruire la matrice $P$ ortogonale del cambiamento di base si deve individuare una base ortonormale di autovettori. Per far ciò bisogna ortonormalizzare i tre autovettori trovati. Tenendo conto che i due autospazi sono già di per sé sempre ortogonali è sufficiente ortonormalizzare i singoli autospazi. L'autospazio relativo all'autovalore $2$ diventa quindi
$E(\lambda_3=2)={t((1/sqrt2),(0),(-1/sqrt2))}$
I due autovettori relativi a $0$ sono già ortogonali (si verifica facilmente eseguendo il loro prodotto scalare) perciò bisogna solo normalizzarli singolarmente e si ottiene
$E(\lambda_(1,2)=0)={s((1/sqrt2),(0),(1/sqrt2))+t((0),(1),(0))}$
Da cui
$P=((1/sqrt2,0,1/sqrt2),(0,1,0),(1/sqrt2,0,-1/sqrt2))$
e risulta
$P^tP=((1,0,0),(0,1,0),(0,0,1))$
Nel caso piú generale in cui gli autovettori dello stesso autospazio non fossero ortogonali è necessario utilizzare il procedimento di ortonormalizzazione di Gram-Schmidt (dovreste averlo studiato).
Eseguendo il calcolo (io non l'ho fatto ma è una utile verifica...) risulterà
$P^tCP=((0,0,0),(0,0,0),(0,0,2))$
Ti torna?
Quindi la matrice P non è semplicemente quella del cambiamento di base dalla canonica a quella formata dagli autovettori (ovvero una matrice che ha per colonne gli autovettori), ma in più quegli autovettori (che so per certo essere ortogonali in quanto l'operatore era simmetrico) devono essere normalizzati. Giusto?
Oggi ho fatto lo scritto ed è capitato proprio questo esercizio. Come matrice P ho preso quella che aveva per colonne gli autovettori (che erano ortogonali in quanto l'operatore era simmetrico), ma non li ho normalizzati. Però se facevo $P^-1CP$ veniva proprio la matrice D con gli autovalori sulla diagonale principale, mentre se facevo $PP^t$ non veniva la I. Ma se non veniva I, come ho fatto ad ottenere D?
Oggi ho fatto lo scritto ed è capitato proprio questo esercizio. Come matrice P ho preso quella che aveva per colonne gli autovettori (che erano ortogonali in quanto l'operatore era simmetrico), ma non li ho normalizzati. Però se facevo $P^-1CP$ veniva proprio la matrice D con gli autovalori sulla diagonale principale, mentre se facevo $PP^t$ non veniva la I. Ma se non veniva I, come ho fatto ad ottenere D?
"Cozza Taddeo":
Eseguendo il calcolo (io non l'ho fatto ma è una utile verifica...) risulterà
$P^tCP=((0,0,0),(0,0,0),(0,0,2))$
Quì è $P^-1CP$ vero?
"daniele_cmp":
Quindi la matrice P non è semplicemente quella del cambiamento di base dalla canonica a quella formata dagli autovettori (ovvero una matrice che ha per colonne gli autovettori), ma in più quegli autovettori (che so per certo essere ortogonali in quanto l'operatore era simmetrico) devono essere normalizzati. Giusto?
Giusto.
"daniele_cmp":
Oggi ho fatto lo scritto ed è capitato proprio questo esercizio. Come matrice P ho preso quella che aveva per colonne gli autovettori (che erano ortogonali in quanto l'operatore era simmetrico), ma non li ho normalizzati. Però se facevo $P^-1CP$ veniva proprio la matrice D con gli autovalori sulla diagonale principale, mentre se facevo $PP^t$ non veniva la I. Ma se non veniva I, come ho fatto ad ottenere D?
Questo non lo so. Una possibilità è che gli autovettori fossero già di norma unitaria e che tu abbia fatto qualche errore di calcolo nel determinare $PP^t$ per cui non ti è risultata la matrice identità $I$. Avendo il testo dell'esercizio si potrebbe capire meglio...
Speriamo che comunque il compito sia andato bene in ogni caso!
"daniele_cmp":
[quote="Cozza Taddeo"]
Eseguendo il calcolo (io non l'ho fatto ma è una utile verifica...) risulterà
$P^tCP=((0,0,0),(0,0,0),(0,0,2))$
Quì è $P^-1CP$ vero?[/quote]
Sí, perché essendo $P$ ortogonale vale $P^t=P^{-1}$ e quindi $P^{-1}CP=P^tCP$.
"Cozza Taddeo":
Questo non lo so. Una possibilità è che gli autovettori fossero già di norma unitaria e che tu abbia fatto qualche errore di calcolo nel determinare $PP^t$ per cui non ti è risultata la matrice identità $I$. Avendo il testo dell'esercizio si potrebbe capire meglio...
Speriamo che comunque il compito sia andato bene in ogni caso!
Guarda, se gli puoi dare un'occhiata mi sarebbe di grande aiuto. "Determinare, se esiste, una matrice ortogonale P tale che $P^-1AP=D$ sia diagonale, essendo $A=((1,0,1),(0,1,0),(1,0,1))$. Scrivere esplicitamente D". Io ho proceduto cosìì. Gli autovalori associati ad A sono ${(\lambda=0),(\lambda=1),(\lambda=2):}$. Gli autospazi sono $E(\lambda=0)={t((-1),(0),(1))}$, $E(\lambda=1)={t((0),(1),(0))}$, $E(\lambda=2)={t((1),(0),(1))}$. Quindi $P((-1,0,1),(0,1,0),(1,0,1))$. Siccome la matrice A era simmetrica, in quanto $A=A^t$, allora P è ortogonale (e poi si vede anche ad occhio...). Se adesso uso questa P (senza normalizzarla), viene $P^-1AP=((-1/2,0,1/2),(0,1,0),(1/2,0,1/2))((1,0,1),(0,1,0),(1,0,1))((-1,0,1),(0,1,0),(1,0,1))=((0,0,0),(0,1,0),(0,0,2))$, che è proprio la matrice diagonale D con gli autovalori sulla diagonale principale. Però in quel calcolo non ho usato la P normalizzata. Se invece faccio $PP^t$ viene $((-1,0,1),(0,1,0),(1,0,1))((-1,0,1),(0,1,0),(1,0,1))=((2,0,0),(0,1,0),(0,0,2))$, che non è I. Mi sa che non m'è chiaro qualche cosa sulla diagonalizzazione...
Forse ho capito l'inghippo.
La matrice $A$ è diagonale e quindi diagonalizzabile mediante una matrice ortogonale. Questo però non impedisce che esistano anche altre matrici non ortogonali che la diagonalizzano. È sufficiente, per costruirne una, determinare una base di autovettori da utilizzare come colonne.
Questo è quello che hai fatto tu. La matrice $P$ che hai costruito diagonalizza $A$ in quanto le sue colonne sono formate da una base di autovettori, ma non è ortogonale perché non hai normalizzato gli autovettori. Per questo risulta $P^tP!=I$.
In sintesi tu hai risposto in modo parzialmente corretto all'esercizio, nel senso che hai trovato la matrice $D$ richiesta ma non hai determinato la matrice ortogonale perché non hai normalizzato gli autovettori.
P.S.: nel tuo post dici che la $P$ trovata è ortogonale e che ciò si vede ad occhio: ciò è falso, forse intendevi dire che $P$ è simmetrica ($P^t=P$), anche perché l'ortogonalità ($P^{-1}=P^t$) non è una proprietà che si riesce a vedere ad occhio...
La matrice $A$ è diagonale e quindi diagonalizzabile mediante una matrice ortogonale. Questo però non impedisce che esistano anche altre matrici non ortogonali che la diagonalizzano. È sufficiente, per costruirne una, determinare una base di autovettori da utilizzare come colonne.
Questo è quello che hai fatto tu. La matrice $P$ che hai costruito diagonalizza $A$ in quanto le sue colonne sono formate da una base di autovettori, ma non è ortogonale perché non hai normalizzato gli autovettori. Per questo risulta $P^tP!=I$.
In sintesi tu hai risposto in modo parzialmente corretto all'esercizio, nel senso che hai trovato la matrice $D$ richiesta ma non hai determinato la matrice ortogonale perché non hai normalizzato gli autovettori.
P.S.: nel tuo post dici che la $P$ trovata è ortogonale e che ciò si vede ad occhio: ciò è falso, forse intendevi dire che $P$ è simmetrica ($P^t=P$), anche perché l'ortogonalità ($P^{-1}=P^t$) non è una proprietà che si riesce a vedere ad occhio...
"Cozza Taddeo":
Forse ho capito l'inghippo.
La matrice $A$ è diagonale e quindi diagonalizzabile mediante una matrice ortogonale. Questo però non impedisce che esistano anche altre matrici non ortogonali che la diagonalizzano. È sufficiente, per costruirne una, determinare una base di autovettori da utilizzare come colonne.
Questo è quello che hai fatto tu. La matrice $P$ che hai costruito diagonalizza $A$ in quanto le sue colonne sono formate da una base di autovettori, ma non è ortogonale perché non hai normalizzato gli autovettori. Per questo risulta $P^tP!=I$.
In sintesi tu hai risposto in modo parzialmente corretto all'esercizio, nel senso che hai trovato la matrice $D$ richiesta ma non hai determinato la matrice ortogonale perché non hai normalizzato gli autovettori.
Quindi normalizzando la P sarebbe venuto $P((-1/\sqrt(2),1,1/\sqrt(2)),(0,1,0),(1/\sqrt(2),0,1/\sqrt(2)))$, e quindi $PP^t=((-1,0,1),(0,1,0),(1,0,1))((-1/\sqrt(2),1,1/\sqrt(2)),(0,1,0),(1/\sqrt(2),0,1/\sqrt(2)))=((1,0,0),(0,1,0),(0,0,1))=I$. Giusto. Quindi, riassumendo, A si diagonalizza tramite una matrice P che può essere ortogonale o meno. Prendo la P che ha per colonne gli autovettori, e facendo $P^-1AP$ viene la matrice diagonale richiesta, bene. Così però P non è ortogonale. Se voglio che P sia ortogonale, devo far sì che abbia per colonne una base ortonormale dello spazio in cui sono. Per colonne ha già una base ortogonale (perchè è composta da n autovettori associati ad n autovalori) e quindi la devo solo normalizzare. Quindi io all'esame ho diagonalizzato A ma senza una P ortogonale. Bella cavolata...
"Cozza Taddeo":
P.S.: nel tuo post dici che la $P$ trovata è ortogonale e che ciò si vede ad occhio: ciò è falso, forse intendevi dire che $P$ è simmetrica ($P^t=P$), anche perché l'ortogonalità ($P^{-1}=P^t$) non è una proprietà che si riesce a vedere ad occhio...
Perchè pensavo, sbagliando, che per dire se una P è ortogonale bastasse farne il prodotto scalare tra i vettori colonna. Ma quì sbagliavo doppiamente perchè se A è simmetrica lo so già che quei vettori (autovettori) sono ortogonali.
Grazie mille, sei stato di grande aiuto!
EDIT
Ops, sbagliato
$PP^t=((-1/\sqrt(2),0,1/\sqrt(2)),(0,1,0),(1/\sqrt(2),0,1/\sqrt(2)))((-\sqrt(2)/2,0,\sqrt(2)/2),(0,1,0),(\sqrt(2)/2,0,\sqrt(2)/2))=((1,0,0),(0,1,0),(0,0,1))=I
Di niente.
In bocca al lupo!
In bocca al lupo!
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