Es spazi vettoriali euclidei

[blaster_nothere]

Esercizio
Nello spazio vettoriale euclideo $RR^3$, dotato del prodotto scalare usuale, si consideri il
sottospazio $U$ di equazione $x + y -z = 0$.
Si esprima il vettore $v = (3,-2,4)$ come somma $v = v_1 + v_2$, con $v_1inU$ e $v_2inU^\bot$.
Sia $f:RR^3->RR^3$ la funzione che associa a un vettore $winRR^3$ la sua proiezione ortogonale $f(w)$ sul sottospazio $U$.
Si scriva la matrice di $f$ rispetto alla base canonica di $RR3$.
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mi date una mano??
non ho la piu pallida idea di come farlo...

la base ortogonale $in U^\bot$
$w_1=v_1$
$w_2=v_2$
$w_3=v_3-g(v_3,v_2)/g(v_2,v_2)v_2-g(v_3,v_1)/g(v_1,v_1)v_1$

....

[pat871]

Un vettore perpendicolare $U$ è $u=(1,1,-1)$, quindi lo spazio ortogonale di $U$ è uno spazio di una dimensione generato da quel vettore.
Per proiettare ortogonalmente un vettore su una retta si utilizza la formula:

$v_2 = v^{\bot} = (v*u)/(u*u) u = -3/3 (1,1,-1) = (-1,-1,1)$
E quindi
$v_1 = v - v_1 = (4,-1,3)$

Per la seconda parte basta sapere le immagini dei vettori base in $RR^3$ per trovare la matrice. Prima proietti su $U^{\bot}$ e poi ottieni il vettore in $U$ proiettato dai vettori base sottraendo $e_i$ e ed il vettore proiettato in $U^{bot}$.

$f((1,0,0)) = f(e_1) = e_1 - ((e_1)*u)/(u*u) u = (1,0,0) - 1/3 (1,1,-1) = (2/3, -1/3, 1/3)$

e così via....ok?