Es applicazione lineare

[daniele_cmp]

Allora, ho un'applicazione del tipo $f:M(2x2,RR)->RR^3$ tale che:
$f((1,1),(0,0))=((0),(1),(1))$, $f((-1,0),(0,-1))=((1),(0),(1))$, $f((0,0),(1,1))=((1),(-1),(0))$, $f((0,0),(1,0))=((0),(0),(0))$
e tra le varie cose devo determinare la matrice associata alla f in basi arbitrariamente scelte. Quindi dovrei calcolare le immagini degli elementi della base canonica di M(2x2) e scriverle come combinazione lineare degli elementi della base canonica di $RR^3$ (scelgo le canoniche per comodità...), e prendere poi i coefficienti della combinazione. Il fatto è che non so come scomporre quelle f per trovare le varie $f((1,0),(0,0))$, $f((0,1),(0,0))$, $f((0,0),(1,0))$, $f((0,0),(0,1))$. L'unica che ho già pronta è $f((0,0),(1,0))=((0),(0),(0))$, le altre non riesco a ricavarle. Mi potete dare una mano?

Grazie

[Camillo]

Sfrutta le proprietà di linearità ad es. :
$f((1,1),(0,0)) =f((1,0),(0,0))+f((0,1),(0,0)) $ etc su tutte le relazioni.

[daniele_cmp]

Ok, quindi verrebbe:
$f((0,0),(0,1))=((1),(-1),(0))$, $f((1,0),(0,0))=((-2),(1),(-1))$, $f((0,1),(0,0))=((2),(0),(2))$, $f((0,0),(1,0))=((0),(0),(0))$. Quindi esprimo questi tre vettori come combinazione lineare di una base (la canonica...) di $RR^3$ (e ritorna sempre la stessa cosa), ottenendo quindi la matrice di f $A=((-2,2,0,1),(1,0,0,-1),(-1,2,0,0))$. A questo punto, se volessi scrivere l'equazione dell'apllicazione usando questa A, dovrei fare Y=AX, dove $Y=f((a,b),(c,d))=((x),(y),(z))$ e $X=((a,b),(c,d))$, solo che la A è una 3x4! Come faccio a fare quel sistema?

[daniele_cmp]

Ok, ho trovato. Semplicemente il vettore X incognito non va messo nella forma $X=((a,b),(c,d))$ ma come $X=((a),(b),(c),(d))$, tutto quì.