Equivalenza tra iperquadriche e relativi supporti
Torno con un quesito di Geometria Proiettiva ma questa volta sulle iperquadriche: per capirci senza problemi, scrivo di seguito alcune definizioni (così come ci sono state date a lezione) che mi sono necessarie per proporvi il mio problema, nella speranza che vi ritroviate in esse. Intenderò con \(\mathbb{K}\) il campo reale o complesso e con \(\omega_L\) la proiettività di \(\mathbb{K}P_n\) tale che \(\forall\,[x]\in\mathbb{K}P_n: \omega_L([x])=[L(x)]\).
Sia \((S_n,\mathcal{K})\) un \(\mathbb{K}-\)spazio proiettivo. Detto \(Q(\mathbb{K}^{n+1})\) lo spazio delle forme quadratiche di \(\mathbb{K}^{n+1}\), definiamo la relazione di equivalenza su \(\mathcal{K}\times(Q(\mathbb{K}^{n+1})\setminus\{\underline{0}\}\) come \[(\kappa,q)\sim(\kappa',q') \iff \exists\lambda\in\mathbb{K}^*\,\exists L\in\mathrm{Aut}(\mathbb{K}^{n+1})\mathrm{\,\,tc\,\,}\kappa'=\omega_L\circ\kappa, \,q'=\lambda q\circ L^{-1}.\] Allora chiameremo iperquadrica di \((S_n,\mathcal{K})\) una qualsiasi classe di equivalenza \(\mathcal{Q}:=[\kappa,q]\) rispetto a \(\sim\). Inoltre, si chiama supporto di \(\mathcal{Q}\) l'insieme \(\mathrm{Supp}\,\mathcal{Q}:=\{P[x]_\kappa\in S\,|\,q(x)=0\}\). Ancora, si dirà rango di \(\mathcal{Q}\) il rango di $q$ denotato con \(\mathrm{rg}\,\mathcal{Q}\) e, nel caso reale, indice di \(\mathcal{Q}\) l'indice di $q$ denotato con \(\mathrm{in}\,\mathcal{Q}\)
Siano \(S_n,S'_n\) due \(\mathbb{K}-\)spazi proiettivi e \(\Omega\) una trasformazione proiettiva di \(S\) in \(S'\). Detta \(\mathcal{Q}:=[\kappa,q]\) un'iperquadrica di $S$, chiamiamo \(\Omega(\mathcal{Q})\) l'iperquadrica di \(S'\) definita come \([\kappa\circ\Omega^{-1},q]\). Inoltre, si dirà che due iperquadriche \(\mathcal{Q}\) e \(\mathcal{Q}'\)di due spazi proiettivi isomorfi sono (proiettivamente) equivalenti se esiste una trasformazione proiettiva $\Omega$ tra i due spazi tale che \(\Omega(\mathcal{Q})=\mathcal{Q}'\).
Fatte queste necessarie premesse, si può facilmente verificare che (nelle notazioni precedenti) risulta sempre \[\mathrm{Supp}\,\Omega(\mathcal{Q})=\Omega(\mathrm{Supp}\,\mathcal{Q})\] il che motiva la definizione appena sopra: stando a questo fatto, è immediato affermare che i supporti di due iperquadriche equivalenti sono ancora equivalenti. La domanda che mi viene da porre è: vale il viceversa?. Diciamo che, girovagando un po', mi è parso di capire che questo è vero su \(\mathbb{C}\) (così come su campi algebricamente chiusi in generale) ma non ho mai trovato una verifica di una tale affermazione né tantomeno ho scoperto cosa accada su \(\mathbb{R}\). Pensando intuitivamente a casi in dimensione bassa, come coniche e quadriche, sono abbastanza convinto che ciò sia vero anche su \(\mathbb{R}\) sebbene non chiuso algebricamente ma in ogni caso non riesco a trovare alcuna risposta soddisfacente. Attendo vostre risposte nella speranza che abbiate qualche idea dimostrativa su \(\mathbb{C}\) o magari un controesempio reale più di me (in extremis, sono ben accetti anche testi o pdf in cui viene spiegata dettagliatamente la questione).
IPERQUADRICA DI UNO SPAZIO PROIETTIVO
Sia \((S_n,\mathcal{K})\) un \(\mathbb{K}-\)spazio proiettivo. Detto \(Q(\mathbb{K}^{n+1})\) lo spazio delle forme quadratiche di \(\mathbb{K}^{n+1}\), definiamo la relazione di equivalenza su \(\mathcal{K}\times(Q(\mathbb{K}^{n+1})\setminus\{\underline{0}\}\) come \[(\kappa,q)\sim(\kappa',q') \iff \exists\lambda\in\mathbb{K}^*\,\exists L\in\mathrm{Aut}(\mathbb{K}^{n+1})\mathrm{\,\,tc\,\,}\kappa'=\omega_L\circ\kappa, \,q'=\lambda q\circ L^{-1}.\] Allora chiameremo iperquadrica di \((S_n,\mathcal{K})\) una qualsiasi classe di equivalenza \(\mathcal{Q}:=[\kappa,q]\) rispetto a \(\sim\). Inoltre, si chiama supporto di \(\mathcal{Q}\) l'insieme \(\mathrm{Supp}\,\mathcal{Q}:=\{P[x]_\kappa\in S\,|\,q(x)=0\}\). Ancora, si dirà rango di \(\mathcal{Q}\) il rango di $q$ denotato con \(\mathrm{rg}\,\mathcal{Q}\) e, nel caso reale, indice di \(\mathcal{Q}\) l'indice di $q$ denotato con \(\mathrm{in}\,\mathcal{Q}\)
EQUIVALENZA PROIETTIVA TRA IPERQUADRICHE
Siano \(S_n,S'_n\) due \(\mathbb{K}-\)spazi proiettivi e \(\Omega\) una trasformazione proiettiva di \(S\) in \(S'\). Detta \(\mathcal{Q}:=[\kappa,q]\) un'iperquadrica di $S$, chiamiamo \(\Omega(\mathcal{Q})\) l'iperquadrica di \(S'\) definita come \([\kappa\circ\Omega^{-1},q]\). Inoltre, si dirà che due iperquadriche \(\mathcal{Q}\) e \(\mathcal{Q}'\)di due spazi proiettivi isomorfi sono (proiettivamente) equivalenti se esiste una trasformazione proiettiva $\Omega$ tra i due spazi tale che \(\Omega(\mathcal{Q})=\mathcal{Q}'\).
Fatte queste necessarie premesse, si può facilmente verificare che (nelle notazioni precedenti) risulta sempre \[\mathrm{Supp}\,\Omega(\mathcal{Q})=\Omega(\mathrm{Supp}\,\mathcal{Q})\] il che motiva la definizione appena sopra: stando a questo fatto, è immediato affermare che i supporti di due iperquadriche equivalenti sono ancora equivalenti. La domanda che mi viene da porre è: vale il viceversa?. Diciamo che, girovagando un po', mi è parso di capire che questo è vero su \(\mathbb{C}\) (così come su campi algebricamente chiusi in generale) ma non ho mai trovato una verifica di una tale affermazione né tantomeno ho scoperto cosa accada su \(\mathbb{R}\). Pensando intuitivamente a casi in dimensione bassa, come coniche e quadriche, sono abbastanza convinto che ciò sia vero anche su \(\mathbb{R}\) sebbene non chiuso algebricamente ma in ogni caso non riesco a trovare alcuna risposta soddisfacente. Attendo vostre risposte nella speranza che abbiate qualche idea dimostrativa su \(\mathbb{C}\) o magari un controesempio reale più di me (in extremis, sono ben accetti anche testi o pdf in cui viene spiegata dettagliatamente la questione).
Risposte
(in extremis, sono ben accetti anche testi o pdf in cui viene spiegata dettagliatamente la questione)Rilancio il thread. Non ti so rispondere, ma interessa anche a me (in particolare la richiesta di riferimenti per geo proiettiva/ipersuperfici in quote).
Grazie comunque, è uno dei pochi post scritti in maniera decente.
P.S. Da dove stai studiando 'ste cose?
Penso che questa domanda sembri difficile solo perchè è scritta usando delle notazioni perverse. Tra l'altro mancano anche delle definizioni: cosa sarebbe $L(x)$? E \(\mathcal K\)? Riscrivi tutto in modo comprensibile, tipo un'iperquadrica mi pare di capire che sia un'ipersuperficie di grado 2, quindi il luogo degli zeri di un polinomio quadratico omogeneo, e tutto diverrà più chiaro.
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