Equivalenza fra norme

[_Tipper]

All'esame di ieri, fra le varie cose, c'era da mostrare che in $C^1([0,1], \mathbb{R})$ le due norme

$N(f) = "sup"_{x \in [0,1]} |f'(x)| + |f(0)|$

e

$N_1(f) = "sup"_{x \in [0,1]} |f'(x)| + "sup"_{x \in [0,1]} |f(x)|$

sono equivalenti, e come suggerimento veniva detto di osservare che $f(x) = f(0) + \int_0^x f'(t) dt$, solo che ancora non ho capito come seguire 'sto benedetto suggerimento... Qualcuno me lo potrebbe dire?

[Luca.Lussardi]

Una disuguaglianza è banale; per l'altra ($N_1 \leq c N$) al posto di $f(x)$ metti l'espressione suggerita....

[_Tipper]

Ho provato a fare così, ottenendo

$"sup"_{x \in [0,1]} |f'(x)| + "sup"_{x \in [0,1]} |f(0) + \int_0^x f'(t) dt| \le c "sup"_{x \in [0,1]} |f'(x)| + c |f(0)|$

però a questo punto non saprei dove mettere le mani... Avevo pensato di spezzare $|f(0) + \int_0^x f'(t)dt|$ secondo la disuguaglianza triangolare del valore assoluto, ma otterrei

$"sup"_{x \in [0,1]} |f(0) + \int_0^x f'(t) dt| \le |f(0)| + "sup"_{x \in [0,1]} |\int_0^x f'(t) dt|$

Magari (anzi sicuramente) è banale, ma non riesco a uscirne...

[Luca.Lussardi]

Ma non hai già finito?

[_Tipper]

Abbi pazienza, ma non lo vedo... Cioè, io arrivo a

$N_1(f) \le "sup"_{x \in [0,1]} |f'(x)| + |f(0)| + "sup"_{x \in [0,1]} |\int_0^x f'(t)dt|$

Ora i primi due termini sono proprio $N(f)$, ma come determino $c$ per maggiorare anche l'ultimo?

[Luca.Lussardi]

$\int_0^x |f'(t)|dt \leq \int_0^1 |f'(t)|dt \leq "sup"_{[0,1]}|f'(t)|$.

[_Tipper]

Ora ho capito, in effetti non era impossibile... Ti ringrazio Luca.

[_Tipper]

Quindi alla fine bastava $c=2$...