Equivalenza di metriche

[dissonance]

Un'altra questione, riguardante gli spazi metrici, che non mi è del tutto chiara è questa:
a)Due distanze $d, d'$ sullo stesso spazio X si dicono equivalenti se esistono $lambda, mu>0$ t.c.
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ lambdad'(x,y)<=d(x,y)<=mud'(x,y)$
b)Sempre $d, d'$ sono topologicamente equivalenti se generano la stessa topologia.

Capisco che $a)=>b)$, $notb)=>a)$. Perciò mi aspetto che la a) significhi dire che $(X, d)$, e $(X, d')$ hanno le stesse proprietà, oltre che topologiche, anche metriche (completezza, limitatezze varie, ecc...). E' vero? Esiste un'isometria $(X,d)->(X,d')$?

[dissonance]

Pensandoci un poco, non so se si possa parlare di isometria, ma sicuramente l'applicazione identica $id:(X,d)->(X,d')$ è Lipschitziana nei due versi (anche $id:(X,d')->(X,d)$ lo è). Quindi è un omeomorfismo(e questa è la scoperta dell'acqua calda), ma probabilmente avrà qualche proprietà in più...qualcuno ha qualche idea in merito?

[ViciousGoblin]

"dissonance":Un'altra questione, riguardante gli spazi metrici, che non mi è del tutto chiara è questa:
a)Due distanze $d, d'$ sullo stesso spazio X si dicono equivalenti se esistono $lambda, mu>0$ t.c.
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ lambdad'(x,y)<=d(x,y)<=mud'(x,y)$
b)Sempre $d, d'$ sono topologicamente equivalenti se generano la stessa topologia.

Capisco che $a)=>b)$, $notb)=>a)$. Perciò mi aspetto che la a) significhi dire che $(X, d)$, e $(X, d')$ hanno le stesse proprietà, oltre che topologiche, anche metriche (completezza, limitatezze varie, ecc...). E' vero? Esiste un'isometria $(X,d)->(X,d')$?

Sicuramente $(X,d)$ è completo se e solo se $(X,d')$ (le successioni di Cauchy sono le stesse)

[dissonance]

Quindi se ho capito bene, le implicazioni sono queste:

Esiste un'isometria $(X,d)->(X,d')$ $=>$ $d$ e $d'$ sono metriche equivalenti $=>$ $(X,d), (X,d')$ sono omeomorfi (hanno la stessa topologia).

e non valgono i viceversa. Perché la completezza di una metrica implichi la completezza dell'altra l'ultima proposizione non è sufficiente. Mi pare che vada bene...

[ViciousGoblin]

Mi pare proprio di sì, anche se forse, come osservavi già tu, si potrebbe dire che le metriche sono equivalenti se e solo se
esiste un omeomorfismo bi-lipschitziano tra $(X,d)$ e $/X,d')$ (di cui l'isometria è un caso particolare).

Tutto piuttosto ovvio, in effetti.

[dissonance]

"ViciousGoblinEnters":Mi pare proprio di sì, anche se forse, come osservavi già tu, si potrebbe dire che le metriche sono equivalenti se e solo se
esiste un omeomorfismo bi-lipschitziano tra $(X,d)$ e $/X,d')$ (di cui l'isometria è un caso particolare).

Tutto piuttosto ovvio, in effetti.

questo infatti mi è servito a chiarire le idee sulla differenza tra isometrie e omeomorfismi: in sostanza tra le une e gli altri ci sono delle corrispondenze "intermedie", che pur non essendo isometrie mantengono le proprietà metriche. Era questo il punto che non mi entrava in testa!