Equivalenza classica su una base di uno spazio vettoriale.
Che volete da me, non ci riesco.
Non riesco a dimostrarmi l'equivalenza secondo cui:
Se un insieme B è una base, allora è un sistema di generatori di cardinalità minima.
Il mio "testo" usa Steinitz, ma in un modo che mi pare non fondato. Chi può aiutarmi?
Non riesco a dimostrarmi l'equivalenza secondo cui:
Se un insieme B è una base, allora è un sistema di generatori di cardinalità minima.
Il mio "testo" usa Steinitz, ma in un modo che mi pare non fondato. Chi può aiutarmi?
Risposte
http://www.math.unipd.it/~maurizio/m2m/AGLQ89pp.pdf
pagina 59, proposizione 4.1. Se qualcosa non ti è chiaro fai un fischio.
pagina 59, proposizione 4.1. Se qualcosa non ti è chiaro fai un fischio.
Pare che il link non sia "available". Comunque, grazie in anticipo, sempre solerte;-)
In effetti io studio solo spazi finitamente generabili. Mi pare di capire che il testo che tu hai postato non contempli "direttamente" (per me è già difficile così;-)) l'equivalenza in questione. Il mio testo, nella fattispecie, invece di quelle tre proposizioni ne mette cinque, tra cui il fatto che una base di V è un sistema di generatori di cardinalità minima e un sistema di vettori indipendenti di cardinalità massima (ovviamente ciò non può valere anche per spazi che non siano finitamente generabili).
Sicuramente non me ne sarò accorto perchè magari non so leggere tra le righe.
Sicuramente non me ne sarò accorto perchè magari non so leggere tra le righe.
Prova a leggere la successiva proposizione 4.3, con la sola dimostrazione per spazi di dimensione finita. In realtà l'unico problema è che il tuo testo e questo pdf usano dei termini leggermente diversi, ma stanno dicendo esattamente la stessa cosa (nel pdf, in realtà si parla di spazi di dimensione infinita solo più avanti; ma il discorso è interessante quando la dimensione è finita). Come si chiama il testo che stai leggendo?
Il testo che sto leggendo, in realtà, è una serie di appunti che un professore (che non è il mio) ha adottato per semplificare il compito ai propri allievi. Perciò non utilizzo un vero e proprio testo, uso questi appunti e quelli che il mio professore dà a lezione, e cerco di lavorare con quelli.
Nella fattispecie è capitato che il nostro professore abbia dimostrato solo la prima implicazione, e le altre le ha lasciate per esercizio a noi. Io ho provato a farle tutte, aiutandomi anche con le dispense di cui ho appena parlato, ma a proposito di quest'ultima equivalenza, non ho capito cosa fa questo testo.
Per capire le dispense di cui mi hai gentilmente postato il link, avrei bisogno di un' elasticità mentale in materia, "teorica", che dubito di avere ancora sviluppato (per la cronaca, studio ingegneria, quindi molte cose vanno lasciate al caso, perché le ore dedicate all'algebra lineare sono pochissime).
In sostanza, su quelle dispense vedo che è utilizzato il teorema di Steinitz. Io so che il teorema di Steinitz dice che un sistema di vettori linearmente indipendenti di uno spazio vettoriale $V$, che indico con $S$, tale che i suoi elementi dipendano linearmente dai vettori di un altro insieme, $T$, ha cardinalità minore uguale a quella di $T$. A proposito del problema in questione, il mio testo dice esplicitamente (voglio quindi dimostrare che la cardinalità di una base $B$ di $V$ sia uguale a quella di un qualsiasi sistema di generatori di $V$ di cardinalità minima):
"Se trovassimo t vettori $w_1, ..., w_t$ che generano $V$ per il teorema di Steinitz risulta n<_t (fin qui ci siamo). Quindi ogni altro sistema di generatori ha cardinalità almeno n". E' questo "almeno" che non riesco a capire, cioè il significato di questo $n$ che mi resta oscuro.
Nella fattispecie è capitato che il nostro professore abbia dimostrato solo la prima implicazione, e le altre le ha lasciate per esercizio a noi. Io ho provato a farle tutte, aiutandomi anche con le dispense di cui ho appena parlato, ma a proposito di quest'ultima equivalenza, non ho capito cosa fa questo testo.
Per capire le dispense di cui mi hai gentilmente postato il link, avrei bisogno di un' elasticità mentale in materia, "teorica", che dubito di avere ancora sviluppato (per la cronaca, studio ingegneria, quindi molte cose vanno lasciate al caso, perché le ore dedicate all'algebra lineare sono pochissime).
In sostanza, su quelle dispense vedo che è utilizzato il teorema di Steinitz. Io so che il teorema di Steinitz dice che un sistema di vettori linearmente indipendenti di uno spazio vettoriale $V$, che indico con $S$, tale che i suoi elementi dipendano linearmente dai vettori di un altro insieme, $T$, ha cardinalità minore uguale a quella di $T$. A proposito del problema in questione, il mio testo dice esplicitamente (voglio quindi dimostrare che la cardinalità di una base $B$ di $V$ sia uguale a quella di un qualsiasi sistema di generatori di $V$ di cardinalità minima):
"Se trovassimo t vettori $w_1, ..., w_t$ che generano $V$ per il teorema di Steinitz risulta n<_t (fin qui ci siamo). Quindi ogni altro sistema di generatori ha cardinalità almeno n". E' questo "almeno" che non riesco a capire, cioè il significato di questo $n$ che mi resta oscuro.
Ecco, appunto: il tuo professore basa il discorso su questo risultato che chiama "teorema di Steiniz"; io sinceramente non avevo mai sentito questo nome. Tutta questa confusione è nata solo da queste fesserie. Allora, con il nome di teorema di Steinitz il risultato a cui ti riferisci, in ultima analisi, è:
gli insiemi linearmente indipendenti sono in una qualche misura "minimi"; per farli dipendere linearmente da altri insiemi dobbiamo necessariamente aggiungere degli elementi. (*)
E' questo il concetto che il tuo professore vuole sfruttare. Lui dice: supponiamo che il nostro spazio vettoriale $V$ abbia una base $S$ composta da $n$ elementi. "Base" significa "sistema di generatori linearmente indipendente", a norma di definizione. Ora consideriamo un altro sistema di generatori, diciamo $T$, $T={w_1,...w_t}$. Può mai essere che $T$ contiene meno vettori di quanti ne contenga $S$? No: infatti ogni vettore di $S$ è comunque un vettore di $V$, quindi dipende linearmente dai vettori di $T$; inoltre $S$ è linearmente indipendente e quindi siamo nelle ipotesi del teorema di Steinitz. Concludiamo che $T$ ha più vettori di $S$. Questo $T$ lo abbiamo scelto del tutto arbitrariamente tra i sistemi di generatori. Quindi tutti i sistemi di generatori hanno almeno $n$ elementi. Fine.
Si tratta, sostanzialmente, di ammorbidire un po' questo "teorema di Steinitz" che crudo non significa nulla. Cotto invece è importante perché caratterizza le basi: sono esattamente quei sistemi di generatori con il minimo numero possibile di elementi.
(*)Se non ricordo male proprio con te parlavamo del fatto che la dimensione di uno spazio vettoriale è il numero minimo di parametri necessari ad identificare univocamente ogni singolo vettore. Il fatto che questo numero sia "minimo" discende proprio da questo risultato. Fammi sapere su cosa non sono stato chiaro.
P.S.non c'entra nulla, ma questo è il mio 999 messaggio!
gli insiemi linearmente indipendenti sono in una qualche misura "minimi"; per farli dipendere linearmente da altri insiemi dobbiamo necessariamente aggiungere degli elementi. (*)
E' questo il concetto che il tuo professore vuole sfruttare. Lui dice: supponiamo che il nostro spazio vettoriale $V$ abbia una base $S$ composta da $n$ elementi. "Base" significa "sistema di generatori linearmente indipendente", a norma di definizione. Ora consideriamo un altro sistema di generatori, diciamo $T$, $T={w_1,...w_t}$. Può mai essere che $T$ contiene meno vettori di quanti ne contenga $S$? No: infatti ogni vettore di $S$ è comunque un vettore di $V$, quindi dipende linearmente dai vettori di $T$; inoltre $S$ è linearmente indipendente e quindi siamo nelle ipotesi del teorema di Steinitz. Concludiamo che $T$ ha più vettori di $S$. Questo $T$ lo abbiamo scelto del tutto arbitrariamente tra i sistemi di generatori. Quindi tutti i sistemi di generatori hanno almeno $n$ elementi. Fine.
Si tratta, sostanzialmente, di ammorbidire un po' questo "teorema di Steinitz" che crudo non significa nulla. Cotto invece è importante perché caratterizza le basi: sono esattamente quei sistemi di generatori con il minimo numero possibile di elementi.
(*)Se non ricordo male proprio con te parlavamo del fatto che la dimensione di uno spazio vettoriale è il numero minimo di parametri necessari ad identificare univocamente ogni singolo vettore. Il fatto che questo numero sia "minimo" discende proprio da questo risultato. Fammi sapere su cosa non sono stato chiaro.
P.S.non c'entra nulla, ma questo è il mio 999 messaggio!
"teorema di Steiniz"; io sinceramente non avevo mai sentito questo nome.
Noto anche come "lemma di Steinitz" (così lo trovi su wikipedia), proprio per chiarire la sua funzione ausiliaria per gli altri teoremi.
gli insiemi linearmente indipendenti sono in una qualche misura "minimi"; per farli dipendere linearmente da altri insiemi dobbiamo necessariamente aggiungere degli elementi. (*)
Perdonami, ma non ho ben capito cosa voglia dire. Però conto di ritornarci non appena sarà più chiaro quanto segue.
"Base" significa "sistema di generatori linearmente indipendente", a norma di definizione. Ora consideriamo un altro sistema di generatori, diciamo T, T={w1,...wt}. Può mai essere che T contiene meno vettori di quanti ne contenga S? No: infatti ogni vettore di S è comunque un vettore di V, quindi dipende linearmente dai vettori di T; inoltre S è linearmente indipendente e quindi siamo nelle ipotesi del teorema di Steinitz. Concludiamo che T ha più vettori di S. Questo T lo abbiamo scelto del tutto arbitrariamente tra i sistemi di generatori. Quindi tutti i sistemi di generatori hanno almeno n elementi. Fine.
Il punto dolente, che ancora resta, a meno di distrazioni clamorose da parte mia, è il seguente: perché non si può avere un sistema di generatori di un numero di vettori inferiore a n? Nulla mi impedisce di pensare che ci possa essere, prima di dimostrare questo teorema. Nella dimostrazione noi non cancelliamo a priori la possibilità che un insieme di cardinalità inferiore a quella di S sia un sistema di generatori per V: è tutto da dimostrare, è proprio quello che vogliamo dimostrare, ma non possiamo utilizzare la tesi per dimostrare la tesi stessa. Allora a questo punto, ho messo un po' di ordine, ma proprio per questo ho capito che mi manca qualcosa in grado di farmi "accettare" che un insieme di cardinalità, es., n-1 non possa essere un sistema di generatori.
Potremmo dire che "S minimale rispetto alla proprietà di essere un sistema di generatori". Ma provando l'equivalenza oggetto di questa discussione noi proviamo indirettamente l'equivalenza tra quest'ultima affermazione e il fatto che S sia un sistema di generatori di cardinalità minima per V.
Mi sono state presentate queste cinque proposizioni:
1) S è base;
2) S è massimale rispetto alla proprietà di essere un sistema di vettori indipendenti di V
3) S è minimale rispetto alla proprietà di essere un sistema di generatori di V
4) S è un insieme di vettori indipendenti di cardinalità massima
5) S è un sistema di generatori di cardinalità minima
Per come mi è stata presentata questa serie di affermazioni, mi è stato detto di provare che la 1 equivale alla 2, che la 1 equivale alla 3, che la 1 equivale alla 4, che la 1 equivale alla 5, e che per la proprietà transitiva 1, 2, 3, 4, 5 sono equivalenti tra loro. Quindi non posso utilizzare la 2 per dimostrare l'implicazione 1-5, visto che per dimostrare l'equivalenza 2-5 devo dimostrare l'equivalenza 1-5 e l'equivalenza 1-2. E quindi devo dimostrare l'equivalenza 1-5 senza far ricorso alla 2, che invece mi sembra (a meno di grossolane distrazioni) l'unica giustificazione a tutto il discorso della tua ultima risposta.
E' come se il mio problema (i miei problemi, che come puoi vedere sono veramente tanti
) diventasse un problema di logica: se devo dimostrare che 2) e 5) siano equivalenti, tramite le due dimostrazioni separate (e unite dalla proprietà transitiva) 1)-2) e 1)-5), posso utilizzare la 2) per dimostrare l'equivalenza 1)-5)? A me pare non si possa fare, quindi devo cercare altre strade (non posso utilizzare il fatto che "S è un sistema di generatori minimale di V"), che francamente non trovo).Approfittando ancora una volta della tua estrema gentilezza
, ti chiedo: cosa mi sfugge, per non poter accettare che non ci possa essere un sistema di generatori di cardinalità inferiore a n?
Quando c'è confusione mentale, una buona idea può essere quella di fare piazza pulita di tutto e ricominciare da zero. Facciamolo. Vogliamo dimostrare l'equivalenza delle tue 5 proposizioni assumendo vero il lemma di Steinitz. Inoltre, il medico ci ha prescritto di dimostrarle in questo ordine: 1$<=>$2, 1$<=>$3, 1$<=>$4, 1$<=>$5 ( 
). Ignoriamo tutte le altre cose che sono state dette.
Useremo queste definizioni: fissato una volta per tutte uno spazio vettoriale $V$, un suo sottoinsieme (che supponiamo finito, anche se non ce ne sarebbe bisogno, per semplicità) $S={x_1,...,x_t}$ si dice
linearmente indipendente se e solo se per ogni $t$-upla di scalari $lambda_1,...lambda_t$ tali che $lambda_1x_1+...lambda_tx_t=0$ risulta che $lambda_1=lambda_2=...=lambda_t=0$;
linearmente dipendente se e solo se non è linearmente indipendente;
un sistema di generatori di $V$ se e solo se per ogni elemento $v$ di $V$ esiste una $t$-upla di scalari $(lambda_1,...lambda_t)$ tale che $lambda_1x_1+...lambda_tx_t=v$.
una base di $V$ se e solo se è un sistema di generatori ed è linearmente indipendente.
Per 1$=>$2 :
Sia $S$ una base di $V$. Supponiamo per assurdo che non sia massimale rispetto alla proprietà di essere linearmente indipendente. Questo significa che esiste un insieme $T$, linearmente indipendente, contenente strettamente $S$ (Chiaro questo punto?). Ma questa cosa non può essere, per il lemma di Steinitz. Infatti $T$ è un sistema di generatori, perché contiene $S$. (Se ogni $v\inV$ è combinazione lineare di vettori di $S$, e $S\subT$, a maggior ragione ogni $v\inV$ è combinazione lineare dei vettori di $T$.) Quindi ogni vettore di $V$, e in particolare tutti i vettori di $S$, dipendono linearmente dai vettori di $T$: per il lemma di Steinitz allora $S$ deve contenere meno vettori di $T$. Ma noi avevamo supposto che $T$ contenesse strettamente $S$ e questa è una contraddizione.
Per 2$=>$1 :
Consideriamo $S$, insieme massimale rispetto alla proprietà di essere linearmente indipendente. Questo vuol dire che ogni qualvolta un insieme $T$, linearmente indipendente, contiene $S$ risulta che $T=S$. (A parole: non possono esistere insiemi linearmente indipendenti contenenti strettamente $S$.) Vogliamo dimostrare che questo $S$ è una base. Per ipotesi $S$ è linearmente indipendente, quindi resta da dimostrare che genera tutto lo spazio. Anche qua, ragioniamo per assurdo. Se per assurdo $S$ non generasse tutto $V$, allora ci sarebbe qualche vettore che non è combinazione lineare dei vettori di $S$. Prendiamone uno, che chiamiamo $v$, e consideriamo l'insieme $T=Suu{v}$. Questo insieme contiene ovviamente $S$, ed è linearmente indipendente. (chiaro il perché?) Quindi abbiamo raggiunto una contraddizione con la massimalità di $S$.
E' abbastanza chiaro fino adesso?
). Ignoriamo tutte le altre cose che sono state dette.Useremo queste definizioni: fissato una volta per tutte uno spazio vettoriale $V$, un suo sottoinsieme (che supponiamo finito, anche se non ce ne sarebbe bisogno, per semplicità) $S={x_1,...,x_t}$ si dice
linearmente indipendente se e solo se per ogni $t$-upla di scalari $lambda_1,...lambda_t$ tali che $lambda_1x_1+...lambda_tx_t=0$ risulta che $lambda_1=lambda_2=...=lambda_t=0$;
linearmente dipendente se e solo se non è linearmente indipendente;
un sistema di generatori di $V$ se e solo se per ogni elemento $v$ di $V$ esiste una $t$-upla di scalari $(lambda_1,...lambda_t)$ tale che $lambda_1x_1+...lambda_tx_t=v$.
una base di $V$ se e solo se è un sistema di generatori ed è linearmente indipendente.
Per 1$=>$2 :
Sia $S$ una base di $V$. Supponiamo per assurdo che non sia massimale rispetto alla proprietà di essere linearmente indipendente. Questo significa che esiste un insieme $T$, linearmente indipendente, contenente strettamente $S$ (Chiaro questo punto?). Ma questa cosa non può essere, per il lemma di Steinitz. Infatti $T$ è un sistema di generatori, perché contiene $S$. (Se ogni $v\inV$ è combinazione lineare di vettori di $S$, e $S\subT$, a maggior ragione ogni $v\inV$ è combinazione lineare dei vettori di $T$.) Quindi ogni vettore di $V$, e in particolare tutti i vettori di $S$, dipendono linearmente dai vettori di $T$: per il lemma di Steinitz allora $S$ deve contenere meno vettori di $T$. Ma noi avevamo supposto che $T$ contenesse strettamente $S$ e questa è una contraddizione.
Per 2$=>$1 :
Consideriamo $S$, insieme massimale rispetto alla proprietà di essere linearmente indipendente. Questo vuol dire che ogni qualvolta un insieme $T$, linearmente indipendente, contiene $S$ risulta che $T=S$. (A parole: non possono esistere insiemi linearmente indipendenti contenenti strettamente $S$.) Vogliamo dimostrare che questo $S$ è una base. Per ipotesi $S$ è linearmente indipendente, quindi resta da dimostrare che genera tutto lo spazio. Anche qua, ragioniamo per assurdo. Se per assurdo $S$ non generasse tutto $V$, allora ci sarebbe qualche vettore che non è combinazione lineare dei vettori di $S$. Prendiamone uno, che chiamiamo $v$, e consideriamo l'insieme $T=Suu{v}$. Questo insieme contiene ovviamente $S$, ed è linearmente indipendente. (chiaro il perché?) Quindi abbiamo raggiunto una contraddizione con la massimalità di $S$.
E' abbastanza chiaro fino adesso?
Sì, all'appello mi manca (a me, personalmente) in teoria solo l'equivalenza 1-5 (perdonami se non uso il linguaggio matematico).
In pratica mille volte grazie per aver postato anche la prima (1-2), mi aiuta a ripetere e riformulare in linguaggio più corretto la dimostrazione.
P.S.- Come la vuoi la statua, di oro, platino o avorio?
In pratica mille volte grazie per aver postato anche la prima (1-2), mi aiuta a ripetere e riformulare in linguaggio più corretto la dimostrazione.
P.S.- Come la vuoi la statua, di oro, platino o avorio?
Sono contento che ci stiamo capendo. A questo punto non resta che dimostrare 1$<=>$5, sempre tenendo come punto fermo il lemma di Steinitz.
1$=>$5
Sia $S$ una base (secondo le definizioni del mio post precedente). In particolare $S$ è un sistema di generatori. Vogliamo mostrare che contiene meno elementi di ogni altro sistema di generatori.
Perciò scegliamo un qualunque sistema di generatori che chiameremo $T$. Il fatto che $T$ generi tutto lo spazio ci dice, a maggior ragione, che ogni vettore di $S$ è combinazione lineare dei vettori di $T$. Inoltre per ipotesi $S$ è linearmente indipendente e a questo punto è impossibile non pensare al lemma di Steinitz. Che difatti ci dice: $S$ contiene meno elementi di $T$ (o al più $S$ contiene lo stesso numero di elementi di $T$). Fine.
5$=>1$
Qui io ragionerei per assurdo. Abbiamo per ipotesi il nostro $S$ che genera tutto $V$ e tutti gli altri sistemi di generatori $T$ contengono un numero di elementi maggiore o uguale al numero di elementi di $S$. Ci resta da dimostrare che necessariamente $S$ è linearmente indipendente. Supponiamo che non lo sia, per assurdo. In questo caso $S$ deve contenere un vettore $v$ che è combinazione lineare degli altri suoi vettori (in simboli $v\in"span"(S-{v})$). E però questo non può essere. Infatti risulta che $S-{v}$ genera ancora tutto lo spazio (E' chiaro il perché di questo? Se no, segnalamelo.). E perciò abbiamo trovato un sistema di generatori ($S-{v}$) che ha strettamente meno elementi di $S$, contro l'ipotesi. Fine.
E' chiaro che il vostro professore vi ha fatto basare tutto il discorso sul lemma di Steinitz. Infatti come puoi vedere qua dipende tutto da quel lemma. In altre parole, il risultato importante è il lemma, il resto sono tecnicismi.
Va bene. Se ci sono altre difficoltà fatti vivo!
P.S.: Niente avorio grazie, non sopporto la violenza sugli animali.
1$=>$5
Sia $S$ una base (secondo le definizioni del mio post precedente). In particolare $S$ è un sistema di generatori. Vogliamo mostrare che contiene meno elementi di ogni altro sistema di generatori.
Perciò scegliamo un qualunque sistema di generatori che chiameremo $T$. Il fatto che $T$ generi tutto lo spazio ci dice, a maggior ragione, che ogni vettore di $S$ è combinazione lineare dei vettori di $T$. Inoltre per ipotesi $S$ è linearmente indipendente e a questo punto è impossibile non pensare al lemma di Steinitz. Che difatti ci dice: $S$ contiene meno elementi di $T$ (o al più $S$ contiene lo stesso numero di elementi di $T$). Fine.
5$=>1$
Qui io ragionerei per assurdo. Abbiamo per ipotesi il nostro $S$ che genera tutto $V$ e tutti gli altri sistemi di generatori $T$ contengono un numero di elementi maggiore o uguale al numero di elementi di $S$. Ci resta da dimostrare che necessariamente $S$ è linearmente indipendente. Supponiamo che non lo sia, per assurdo. In questo caso $S$ deve contenere un vettore $v$ che è combinazione lineare degli altri suoi vettori (in simboli $v\in"span"(S-{v})$). E però questo non può essere. Infatti risulta che $S-{v}$ genera ancora tutto lo spazio (E' chiaro il perché di questo? Se no, segnalamelo.). E perciò abbiamo trovato un sistema di generatori ($S-{v}$) che ha strettamente meno elementi di $S$, contro l'ipotesi. Fine.
E' chiaro che il vostro professore vi ha fatto basare tutto il discorso sul lemma di Steinitz. Infatti come puoi vedere qua dipende tutto da quel lemma. In altre parole, il risultato importante è il lemma, il resto sono tecnicismi.
Va bene. Se ci sono altre difficoltà fatti vivo!
P.S.: Niente avorio grazie, non sopporto la violenza sugli animali.
Per la verità Steinitz io l'ho usato solo quando necessario, sempre riguardo a queste cinque equivalenze. Quando non ce n'era bisogno, ho usato "intuizioni" più semplici. Comunque il tuo discorso sulle prime implicazioni (mi dispiace del fatto che non mi sia spiegato prima) è servito molto per fissare meglio i concetti inerenti al lemma di Steinitz. io imparerò semmai tutte le dimostrazioni con cui sono entrato in contatto. Per imparare l'algebra lineare, non pretendendo chissà cosa, è secondo me utile istituire quante più connessioni possibili tra i vari concetti.
Mah, proverò a spiegarmi.
Se un sistema di generatori $G$ di $n$ vettori è un sistema di generatori per V, e uno dei vettori di $G$ dipende linearmente dagli altri, allora l'insieme che si ottiene togliendo il vettore dipendente da $G$ è a sua volta un sistema di generatori per $V$ in quanto il vettore dipendente è un vettore di V e come tale può essere scritto come combinazione lineare dei rimanenti vettori da cui dipende, così come tutti gli altri che non appartengono a $G$ ma che sono in $V$.
Magari questa definizione non è molto rigorosa, in ogni caso penso debba essere "sistemata" un po', chiarita.
Effettivamente non ci ho riflettuto, sono d'accordo con te.
E' chiaro il perché di questo? Se no, segnalamelo.
Mah, proverò a spiegarmi.
Se un sistema di generatori $G$ di $n$ vettori è un sistema di generatori per V, e uno dei vettori di $G$ dipende linearmente dagli altri, allora l'insieme che si ottiene togliendo il vettore dipendente da $G$ è a sua volta un sistema di generatori per $V$ in quanto il vettore dipendente è un vettore di V e come tale può essere scritto come combinazione lineare dei rimanenti vettori da cui dipende, così come tutti gli altri che non appartengono a $G$ ma che sono in $V$.
Magari questa definizione non è molto rigorosa, in ogni caso penso debba essere "sistemata" un po', chiarita.
P.S.: Niente avorio grazie, non sopporto la violenza sugli animali.
Effettivamente non ci ho riflettuto, sono d'accordo con te.
"turtle87":
Magari questa definizione non è molto rigorosa, in ogni caso penso debba essere "sistemata" un po', chiarita.
Sì il concetto è quello. Formalmente avremmo dovuto dire così: supponiamo di avere $S\subV$, $v\inS$ dipendente linearmente dagli altri vettori di $S$, nel senso che esistono $m$ vettori $v_1,...,v_m$ e $m$ scalari $lambda_1,...,lambda_m$ tali che $v=lambda_1v_1+...+lambda_mv_m$. Allora lo spazio generato da $S$ (anche noto come "span lineare", non so come lo indichi tu; parlo dell'insieme delle combinazioni lineari di vettori di $S$) è uguale allo spazio generato da $S-{v}$. Questo fatto è vero pure per insiemi infiniti e anzi in quel caso ha una importanza particolare, però visto che parliamo di spazi di dimensione finita, per dimostrarlo supponiamo che $S$ sia finito, diciamo $S={v_1,..., v_m}uu{v}$. Allora un vettore $x$ dello spazio generato da $S$ è una combinazione lineare del tipo $x=mu_1v_1+...+mu_mv_m+muv$, ma per ipotesi $v=lambda_1v_1+...+lambda_mv_m$ e di conseguenza $x=(mu_1+mulambda_1)v_1+...+(mu_m+mulambda_m)v_m$, cioè $x$ è esprimibile come combinazione lineare dei soli $v_1,...,v_m$ e perciò sta nello spazio generato da $S-{v}$.
Spero di non averti fatto sembrare difficile questo fatto perché in realtà è una semplice verifica, ed inoltre è a mio avviso molto importante: è grazie a questa proposizione che si capisce perché si parli di "dipendenza" lineare.
Questa spiegazione mi aiuta molto, e non solo per capire i contenuti.
Grazie, ancora, e buon 2009!
Grazie, ancora, e buon 2009!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo