Equivalenza ?

[turtle87crociato]

Riporto un punto di un' altra mia discussione in sede separata.

Dire che un insieme è un sottospazio e dire che esso è l'insieme delle soluzioni di un sistema lineare omogeneo è la stessa cosa? Cioè, le due proposizioni sono equivalenti?

Ho evidenziato lineare. E' vero che questa cosa vale solo per i sistemi di equazioni lineari omogenei, e non per tutti i tipi di sistemi omogenei?

[dissonance]

"turtle87":Dire che un insieme è un sottospazio e dire che esso è l'insieme delle soluzioni di un sistema lineare omogeneo è la stessa cosa? Cioè, le due proposizioni sono equivalenti?

In dimensione finita certamente sì. Infatti, si può dire di più: dato uno spazio vettoriale $V$ e un suo sottospazio $W$ (di qualsiasi dimensione), esiste sicuramente una applicazione lineare definita su $V$ il cui nucleo è esattamente $W$. Quindi, se chiamiamo $F$ questa applicazione, risulta che i vettori di $W$ sono esattamente quelli che verificano l'equazione $F(x)=0$. Se poi hai la dimensione finita di $V$, puoi intervenire con i sistemi di equazioni lineari. Questa è l'idea, se ti servono approfondimenti chiedi pure.

"turtle87":
Ho evidenziato lineare. E' vero che questa cosa vale solo per i sistemi di equazioni lineari omogenei, e non per tutti i tipi di sistemi omogenei?

Beh, certo. Prendi ad esempio l'equazione omogenea $x^2-y=0$. Questa non decrive certo un sottospazio vettoriale di $RR^2$.

[dissonance]

Come giustamente mi faceva notare adaBTTLS, l'equazione $x^2-y=0$ non è omogenea: ci sono monomi di grado diverso. Comunque sia rimediamo subito, di equazioni omogenee che non descrivono sottospazi vettoriali ce ne sono: prendiamo ad esempio $xy=0$. Questa equazione descrive l'unione dell'asse delle $x$ e dell'asse delle $y$, che non è evidentemente un sottospazio vettoriale di $RR^2$.