Equiampliabilità

[DavideGenova1]

Ciao, amici! Hilbert, nel paragrafo 19, teorema 47, dei Fondamenti della Geometria, dice che, usando il fatto che triangoli con basi ed altezze congruenti sono equiampliabili, la transitività della relazione di equiampliabilità e il teorema 42, cioè quello di Talete, si dimostra che un triangolo qualunque è equiampliabile con un triangolo rettangolo che abbia un cateto congruente ad un segmento precedentemente fissato come segmento unitario.
Nonostante ci abbia perso la giornata (e mezza nottata) non riesco proprio a dimostrare a me stesso questo fatto a partire dagli assiomi e dalla teoria delle proporzioni (visto il riferimento al teorema di Talete) sviluppata da tali assiomi da Hilbert. Ovviamente, nel caso di triangoli del piano ordinario, chiamate le base del triangolo qualunque $b$ e l'altezza $h$, costruirei semplicemente un triangolo rettangolo con un cateto 1 e l'altro cateto congruente ad $hb$ , ma non vedo come utilizzare una cosa del genere con $h,b$ intese come classi di equivalenza di segmenti, ed elementi del campo costruito per il "calcolo con i segmenti" da Hilbert, per provare l'equiampliabilità tra il triangolo qualunque e quello con un cateto unitario: ci sarà qualcosa che garantisca che un triangolo rettangolo di cateti 1 e $hb$ sia equiampliabile con uno di base $b$ e altezza $h$?
Qualcuno sarebbe così gentile da tirarmi un salvagente?
$\infty$ grazie a tutti!!!

[adaBTTLS1]

Non so se sono in grado di aiutarti, ma a me viene semplicemente in mente una cosa:
data la base b, non solo come misura ma anche come segmento, tracciare una retta (o due rette) che disti h (questa volta parlo solo di misura) dalla retta del segmento b.
Se due vertici del triangolo sono gli estremi del segmento b, l'unione delle due rette è il luogo geometrico dei punti da cui considerare il terzo vertice per ottenere un triangolo di area bh/2.
ciao!

[DavideGenova1]

Grazie, Ada! Già: triangoli di base ed altezza congruenti sono equiampliabili tra loro. Se quindi riuscissi a determinare un modo per costruire un triangolo di altezza unitaria tra quelli con base $b$ e terzo vertice sulla parallela distante $h$ dalla retta su cui giace $b$, essendo esso equiampliabile con un triangolo rettangolo di cateto 1, sarei riuscito nel mio intento... però non mi viene in mente nessuna costruzione lecita a partire dagli assiomi piani di incidenza, ordine, congruenza e delle parallele (senza quello archimedeo) per trovare un tale triangolo...
$\infty$ grazie ancora!!!

[adaBTTLS1]

prego!
.... cioè, vorresti fare a meno del quinto postulato di Euclide?

[DavideGenova1]

Il postulato delle parallele, nella formulazione hilbertiana per cui per un punto $A$ del piano non appartenente alla retta $a$ passa al massimo una parallela ad $a$ (che ce ne sia almeno una discende dagli assiomi piani di incidenza I, ordinamento II e congruenza III), vale nella geometria in cui Hilbert enuncia l'equiampliabilità di un qualsiasi triangolo con un triangolo rettangolo di cateto unitario, ma non vale quello archimedeo, che nella formulazione hilbertiana dice che se $AB$ e $CD$ sono due segmenti qualsiasi, c'è un numero $n$ tale che il trasporto del segmento $CD$ reiterato $n$ volte da $A$ sulla semiretta passante per $B$, porta al di là del punto $B$.
Credo di aver trovato come dimostrare l'equiampliabilità con un triangolo rettangolo di cateto unitario di qualsiasi triangolo utilizzando praticamente lo stesso ragionamento usato qui a p. 102: ponendo per esempio \(AC'=h,AB'=b,AB=1\) e \(AC=hb\) si ha che i triangoli \(C'BC\) e \(CBB'\) dell'ampliamento così costruito sono compresi tra due parallele, quindi di altezza, oltre alla base, congruente, e costituiscono quindi un ampliamento equiampliabile.
Che meraviglia esplorare i fondamenti della geometria sintetica...
Grazie ancora!!!

[adaBTTLS1]

di nulla!