Equazioni vettoriali...
Salve! Ho degli esercizi, ma niente soluzione, quindi chiedo il vostro aiuto!! 
Allora, se il vettore incognito è \vec{x}:
[size=150]$\vec{u}\wedge\vec{x}=\vec{u}\wedge\vec{v}=>\vec{u}\wedge(\vec{x}-\vec{v})=0=>\vec{x}-\vec{v}=k\vec{u}:k\inRR=>\vec{x}=\vec{v}+k\vec{u}$[/size]
Fin qui semplice, bastava ricordarsi della proprietà distributiva del prodotto vettoriale e che quando esso è nullo i due vettori sono paralleli.
Poi:
[size=150]$\vec{u}\cdot\vec{x}=\vec{u}\cdot\vec{v}=>\vec{u}\cdot(\vec{x}-\vec{v})=0=>\vec{x}-\vec{v}=\vec{w}\wedge\vec{u}=>\vec{x}=\vec{v}+\vec{w}\wedge\vec{u}$[/size]
Dove [size=150]$\vec{w}$[/size] è un generico vettore.
Adesso per queste non sono riuscito a trovare un procedimento analitico soddisfacente:
[size=150]$ \vec{u}\wedge\vec{x}=\vec{v}$[/size]
[size=150]$\vec{x}=\vec{u}\wedge(\vec{x}+\vec{v})$[/size]
Allora, se il vettore incognito è \vec{x}:
[size=150]$\vec{u}\wedge\vec{x}=\vec{u}\wedge\vec{v}=>\vec{u}\wedge(\vec{x}-\vec{v})=0=>\vec{x}-\vec{v}=k\vec{u}:k\inRR=>\vec{x}=\vec{v}+k\vec{u}$[/size]
Fin qui semplice, bastava ricordarsi della proprietà distributiva del prodotto vettoriale e che quando esso è nullo i due vettori sono paralleli.
Poi:
[size=150]$\vec{u}\cdot\vec{x}=\vec{u}\cdot\vec{v}=>\vec{u}\cdot(\vec{x}-\vec{v})=0=>\vec{x}-\vec{v}=\vec{w}\wedge\vec{u}=>\vec{x}=\vec{v}+\vec{w}\wedge\vec{u}$[/size]
Dove [size=150]$\vec{w}$[/size] è un generico vettore.
Adesso per queste non sono riuscito a trovare un procedimento analitico soddisfacente:
[size=150]$ \vec{u}\wedge\vec{x}=\vec{v}$[/size]
[size=150]$\vec{x}=\vec{u}\wedge(\vec{x}+\vec{v})$[/size]
Risposte
C'è nessuno...? 
Secondo me per risolvere $vecu ^^ vecx = vecv$,
dove, $vecu,vecx,vecv in RR^3$ e l'incognita è $vecx$,
potresti sviluppare il prodotto vettoriale calcolando
il solito "determinante" (se così si può chiamare) della
matrice che ha nella prima colonna i vettori della base
canonica di $RR^3$, vale a dire $vec(e_1),vec(e_2),vec(e_3)$,
nella seconda le coordinate di $vecu$ nella base canonica, nella terza
quelle di $vecx$ sempre nella stessa base.
Sviluppi il determinante, dopodiché cerchi una applicazione
lineare $F:RR^3->RR^3$ che associa a $vecx in RR^3$
il suo prodotto vettoriale con un vettore fissato $vecu$,
vale a dire il "determinante" che hai appena calcolato.
Quindi cerchi la matrice di questa applicazione lineare
rispetto alla base canonica di $RR^3$, sarà una matrice
che moltiplicata per il vettore $vecu$ ti deve dare $vecv$.
Fatto questo ti resta un sistema lineare 3x3 che ha per
incognite le coordinate del vettore $vecx$ nella base canonica di $RR^3$.
dove, $vecu,vecx,vecv in RR^3$ e l'incognita è $vecx$,
potresti sviluppare il prodotto vettoriale calcolando
il solito "determinante" (se così si può chiamare) della
matrice che ha nella prima colonna i vettori della base
canonica di $RR^3$, vale a dire $vec(e_1),vec(e_2),vec(e_3)$,
nella seconda le coordinate di $vecu$ nella base canonica, nella terza
quelle di $vecx$ sempre nella stessa base.
Sviluppi il determinante, dopodiché cerchi una applicazione
lineare $F:RR^3->RR^3$ che associa a $vecx in RR^3$
il suo prodotto vettoriale con un vettore fissato $vecu$,
vale a dire il "determinante" che hai appena calcolato.
Quindi cerchi la matrice di questa applicazione lineare
rispetto alla base canonica di $RR^3$, sarà una matrice
che moltiplicata per il vettore $vecu$ ti deve dare $vecv$.
Fatto questo ti resta un sistema lineare 3x3 che ha per
incognite le coordinate del vettore $vecx$ nella base canonica di $RR^3$.
Già, avevo già trovato questa strada, magari non proprio uguale ma concettualmente simile, solo che mi chiedevo se si poteva fare come per gli altri attraverso un procedimento "sintetico"; utlizzando solo le proprietà delle operazioni vettoriali...
Per esempio se devo risolvere una equazione del genere dove le incognite sono gli scalari $a,b,c$:
[size=150]$\vec{x}=a\vec{u}+b\vec{v}+c\vec{w}$[/size]
Allora basta che moltiplichi scalarmente ambo i membri almeno 2 volte per un vettore che è ortogonale a due contemporaneamente,
[size=150]
$\vec{v}\wedge\vec{w}\cdot\vec{x}=a\vec{v}\wedge\vec{w}\cdot\vec{u}$[/size]
[size=150]$\vec{u}\wedge\vec{w}\cdot\vec{x}=b\vec{u}\wedge\vec{w}\cdot\vec{v}$[/size]
[size=150]$\vec{u}\wedge\vec{v}\cdot\vec{x}=c\vec{u}\wedge\vec{v}\cdot\vec{w}$[/size]
Quindi:
[size=150]$\vec{x}=({\vec{v}\wedge\vec{w}\cdot\vec{x}}/{\vec{v}\wedge\vec{w}\cdot\vec{u}})\vec{u}+({\vec{u}\wedge\vec{w}\cdot\vec{x}}/{\vec{u}\wedge\vec{w}\cdot\vec{v}})\vec{v}+({\vec{u}\wedge\vec{v}\cdot\vec{x}}/{\vec{u}\wedge\vec{v}\cdot\vec{w}})\vec{w}$[/size]
Volevo trovare una cosa del genere... Secondo voi è possibile?
Per esempio se devo risolvere una equazione del genere dove le incognite sono gli scalari $a,b,c$:
[size=150]$\vec{x}=a\vec{u}+b\vec{v}+c\vec{w}$[/size]
Allora basta che moltiplichi scalarmente ambo i membri almeno 2 volte per un vettore che è ortogonale a due contemporaneamente,
[size=150]
$\vec{v}\wedge\vec{w}\cdot\vec{x}=a\vec{v}\wedge\vec{w}\cdot\vec{u}$[/size]
[size=150]$\vec{u}\wedge\vec{w}\cdot\vec{x}=b\vec{u}\wedge\vec{w}\cdot\vec{v}$[/size]
[size=150]$\vec{u}\wedge\vec{v}\cdot\vec{x}=c\vec{u}\wedge\vec{v}\cdot\vec{w}$[/size]
Quindi:
[size=150]$\vec{x}=({\vec{v}\wedge\vec{w}\cdot\vec{x}}/{\vec{v}\wedge\vec{w}\cdot\vec{u}})\vec{u}+({\vec{u}\wedge\vec{w}\cdot\vec{x}}/{\vec{u}\wedge\vec{w}\cdot\vec{v}})\vec{v}+({\vec{u}\wedge\vec{v}\cdot\vec{x}}/{\vec{u}\wedge\vec{v}\cdot\vec{w}})\vec{w}$[/size]
Volevo trovare una cosa del genere... Secondo voi è possibile?
http://poincare.dma.unifi.it/~verdiani/
Nel file "note del corso" che trovi cliccando il link riguardante geometria, nella sezione dedicata alle equazioni vettoriali dovresti trovare qualcosa...
Nel file "note del corso" che trovi cliccando il link riguardante geometria, nella sezione dedicata alle equazioni vettoriali dovresti trovare qualcosa...
L'equazione $vec(U) \wedge vec(X)=vec(V)$
non ha soluzione se $vec(U) ,vec(V)$ non sono ortogonali,
in caso contrario,sotto certe condizioni, ne ha infinite.
karl
non ha soluzione se $vec(U) ,vec(V)$ non sono ortogonali,
in caso contrario,sotto certe condizioni, ne ha infinite.
karl
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