Equazioni parametriche ker e Im
Buongiorno a tutti, stamane nel tentativo di risolvere un esercizio di Geometria e algebra mi sono imbattuto in un ostacolo che non so aggirare.
Mi viene data la seguente applicazione lineare:
$ L( ( x ),( y ),( z ) ) = ( ( 2x-y+z ),( y+z ),( x+z ) ) $
Nei primi punti mi viene chiesto di determinare la matrice associata, le dimensioni di $ ker(L) $ e di $ Im(L) $, ma fin qui nessun problema. Il problema viene al punto successivo: "scrivere le equazioni dei sottospazi $ Ker(L) $ e $ Im(L) $" e poi anche al successivo "determinare una base per i sottospazi $ Ker(L) $ e $ Im(L) $". Per gli ultimi due punti non so proprio come procedere, e non è che il mio libro sia molto chiaro. Qualcuno saprebbe aiutarmi, magari dandomi un seppur sommaria spiegazione dei passaggi?
Grazie
Mi viene data la seguente applicazione lineare:
$ L( ( x ),( y ),( z ) ) = ( ( 2x-y+z ),( y+z ),( x+z ) ) $
Nei primi punti mi viene chiesto di determinare la matrice associata, le dimensioni di $ ker(L) $ e di $ Im(L) $, ma fin qui nessun problema. Il problema viene al punto successivo: "scrivere le equazioni dei sottospazi $ Ker(L) $ e $ Im(L) $" e poi anche al successivo "determinare una base per i sottospazi $ Ker(L) $ e $ Im(L) $". Per gli ultimi due punti non so proprio come procedere, e non è che il mio libro sia molto chiaro. Qualcuno saprebbe aiutarmi, magari dandomi un seppur sommaria spiegazione dei passaggi?
Grazie
Risposte
Ciao,
scriviamo la matrice associata all'applicazione rispetto alle basi canoniche: $$A=\begin{bmatrix}
2&-1&1\\0&1&1\\1&0&1
\end{bmatrix}$$ Sappiamo che il kernel (o nucleo) di un'applicazione $f$ è costituito da tutti i vettori $v$ tali che $$f(v) = 0$$ Ma sappiamo anche che, data la matrice $A$ associata all'applicazione, si ha $$f(v) = Av$$ Quindi chiedersi quale sia il kernel di $f$ significa chiedersi quale sia la soluzione del sistema lineare omogeneo descritto dalla matrice $A$. Per praticità riscriviamo la matrice cambiando l'ordine delle righe e riducendola in forma triangolare: $$\begin{bmatrix}
1&0&1\\0&1&1\\2&-1&1
\end{bmatrix}\rightarrow\begin{bmatrix}
1&0&1\\0&1&1\\0&-1&-1
\end{bmatrix}\rightarrow\begin{bmatrix}
1&0&1\\0&1&1\\0&0&0
\end{bmatrix}$$ Trattando l'incognita $z$ come un parametro giungiamo alla soluzione $$\begin{bmatrix}
x\\y\\z
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
-z\\-z\\z
\end{bmatrix} = z\begin{bmatrix}
-1\\-1\\1
\end{bmatrix}$$ Quindi il nucleo dell'applicazione è dato dall'immagine del vettore \(\begin{bmatrix}
-1&-1&1
\end{bmatrix}^T\).
Se lo vogliamo scrivere sotto forma di equazioni possiamo scrivere, guardando la forma triangolare della matrice, il seguente sistema: $$\begin{cases}x+z=0 \\ y+z = 0\end{cases}$$ Per quanto riguarda l'immagine sappiamo che si tratta di tutti i vettori raggiungibili da $f$, ovvero tutti i vettori $$w: \exists v: f(v) = w$$ Allora possiamo scrivere $$w = Av$$ Ponendo $$w = \begin{bmatrix}
a&b&c
\end{bmatrix}^T$$ possiamo chiederci per quali terne $a,b,c$ sia possibile trovare la soluzione di $$w=Av$$ Vuoi provare?
scriviamo la matrice associata all'applicazione rispetto alle basi canoniche: $$A=\begin{bmatrix}
2&-1&1\\0&1&1\\1&0&1
\end{bmatrix}$$ Sappiamo che il kernel (o nucleo) di un'applicazione $f$ è costituito da tutti i vettori $v$ tali che $$f(v) = 0$$ Ma sappiamo anche che, data la matrice $A$ associata all'applicazione, si ha $$f(v) = Av$$ Quindi chiedersi quale sia il kernel di $f$ significa chiedersi quale sia la soluzione del sistema lineare omogeneo descritto dalla matrice $A$. Per praticità riscriviamo la matrice cambiando l'ordine delle righe e riducendola in forma triangolare: $$\begin{bmatrix}
1&0&1\\0&1&1\\2&-1&1
\end{bmatrix}\rightarrow\begin{bmatrix}
1&0&1\\0&1&1\\0&-1&-1
\end{bmatrix}\rightarrow\begin{bmatrix}
1&0&1\\0&1&1\\0&0&0
\end{bmatrix}$$ Trattando l'incognita $z$ come un parametro giungiamo alla soluzione $$\begin{bmatrix}
x\\y\\z
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
-z\\-z\\z
\end{bmatrix} = z\begin{bmatrix}
-1\\-1\\1
\end{bmatrix}$$ Quindi il nucleo dell'applicazione è dato dall'immagine del vettore \(\begin{bmatrix}
-1&-1&1
\end{bmatrix}^T\).
Se lo vogliamo scrivere sotto forma di equazioni possiamo scrivere, guardando la forma triangolare della matrice, il seguente sistema: $$\begin{cases}x+z=0 \\ y+z = 0\end{cases}$$ Per quanto riguarda l'immagine sappiamo che si tratta di tutti i vettori raggiungibili da $f$, ovvero tutti i vettori $$w: \exists v: f(v) = w$$ Allora possiamo scrivere $$w = Av$$ Ponendo $$w = \begin{bmatrix}
a&b&c
\end{bmatrix}^T$$ possiamo chiederci per quali terne $a,b,c$ sia possibile trovare la soluzione di $$w=Av$$ Vuoi provare?
Salve stdio93,
dal titoli del post tu chiedi le "equazioni parametriche", sei sicuro? Non vorrei che erano le equazioni cartesiane? Potresti esplicitare le tue soluzioni e come hai fatto?
Saluti
"stdio93":
Buongiorno a tutti, stamane nel tentativo di risolvere un esercizio di Geometria e algebra mi sono imbattuto in un ostacolo che non so aggirare.
Mi viene data la seguente applicazione lineare:
$ L( ( x ),( y ),( z ) ) = ( ( 2x-y+z ),( y+z ),( x+z ) ) $
Nei primi punti mi viene chiesto di determinare la matrice associata, le dimensioni di $ ker(L) $ e di $ Im(L) $, ma fin qui nessun problema. Il problema viene al punto successivo: "scrivere le equazioni dei sottospazi $ Ker(L) $ e $ Im(L) $" e poi anche al successivo "determinare una base per i sottospazi $ Ker(L) $ e $ Im(L) $". Per gli ultimi due punti non so proprio come procedere, e non è che il mio libro sia molto chiaro. Qualcuno saprebbe aiutarmi, magari dandomi un seppur sommaria spiegazione dei passaggi?
Grazie
dal titoli del post tu chiedi le "equazioni parametriche", sei sicuro? Non vorrei che erano le equazioni cartesiane? Potresti esplicitare le tue soluzioni e come hai fatto?
Saluti
suggerisco un metodo per il calcolo di una base di $Imf$ alternativo a quello proposto da minomic(che saluto)
$f(1,0,0)=(2,0,1)$
$f(0,1,0)=(-1,1,0)$
$f(0,0,1)=(1,1,1)$
siccome $Imf$ ha dimensione $2$,$(2,0,1)$ e $(-1,1,0)$ costituiscono una sua base
$f(1,0,0)=(2,0,1)$
$f(0,1,0)=(-1,1,0)$
$f(0,0,1)=(1,1,1)$
siccome $Imf$ ha dimensione $2$,$(2,0,1)$ e $(-1,1,0)$ costituiscono una sua base
Ciao raf, giustissimo! Ora a stdio93 il compito di trovare le equazioni cartesiane. 
Salve a tutti,
perchè scomodare la base canonica così presto?!.. l'applicazione lineare da già l'immagine di un generico vettore \( (x,y,z) \),
\( f((x,y,z))=( 2x-y+z, y+z ,x+z ) \), per il \( ker(f) \) a noi interessano quei vettori \( (x,y,z)\) tali che \( f((x,y,z))=0_{\mathbb{R}^3}\), quindi basta partire da questa uguaglianza \( ( 2x-y+z, y+z ,x+z ) =(0,0,0) \) che fornisce un sistema di equazioni lineari, ovvero \( \begin{cases}
2x-y+z=0\\
y+z=0\\
x+z=0
\end{cases} \), dalla matrice incompleta di questo notiamo che il rango è \(2\) ed il sistema per ovvi teoremi è indeterminato ed ammette \( \infty^1 \) soluzioni con \( 1 \) incognita libera scelta opportunamente, nel nostro caso scegliamo \( z \), notando anche che il sistema è equivalente a questo \( \begin{cases}
2x-y+z=0\\
y+z=0\\
\end{cases} \), e , senza scomodare troppo Cramer, per semplice sostituzione avremo \( \begin{cases}
x=-z\\
y=-z
\end{cases} \), ergo \( ker(f)=\{(-z,-z,z) | z \in \mathbb{R} \}\)... è possibile anche scrivere \( ker(f)=\{z(-1,-1,1)|z \in \mathbb{R}\}=\mathcal{L}\{(-1,-1,1)\}\), e banalmente \( (-1,-1,1) \) è anche base per \( ker(f) \), quindi \( dim_\mathbb{R}(ker(f))=1 \); dal teorema del rango possiamo dire che \( dim_\mathbb{R}(im(f))=3-1=2 \), dovendo esplicitare \( im(f) \), sappiamo per def. che \( im(f)=\{f((x,y,z))|(x,y,z) \in \mathbb{R}^3 \} \) quindi potrei scrivere che \( im(f)=\{( 2x-y+z, y+z ,x+z ) |x,y,z \in \mathbb{R} \} \) ma non vado molto lontano, allora occorre fare ulteriori considerazioni.. ovviamente \( dom(f) =\mathcal{L}\{(e_1,e_2,e_3)\} \), e per un teorema sugli omomorfismi certamente \( im(f)=f(\mathbb{R})=\mathcal{L}\{(f(e_1),f(e_2),f(e_3))\}\), ora mi conviene scomodare la base canonica, e avendo per ipotesi nota l'immagine di un generico vettore avremo:
\(f(e_1)=(2,0,1) \)
\(f(e_2)=(-1,1,0) \)
\( f(e_3)=(1,1,1) \)
quindi \( im(f)=\mathcal{L}\{((2,0,1),(-1,1,0),(1,1,1))\}\), ma sappiamo anche che la \( dim_\mathbb{R}(im(f))=2 \), quindi, dopo aver visto che \( (1,1,1) \in \mathcal{L}\{((2,0,1),(-1,1,0))\} \) e \( (2,0,1),(-1,1,0) \) sono liberi su \( \mathbb{R} \), posso dire \(im(f)=\mathcal{L}\{((2,0,1),(-1,1,0))\}\) e i generatori formano una base per \(im(f) \).
Per quanto riguarda le cartesiane, roba da pochi spiccioli avendo le basi sia del \( ker(f) \) che dell'\(im(f) \), spero in una risoluzione da parte dell'autore del post!!
Saluti & spero di non aver fatto errori di calcolo o di considerazioni!
P.S.=@stdio93, aspettiamo con ansia una tua risposta..
perchè scomodare la base canonica così presto?!.. l'applicazione lineare da già l'immagine di un generico vettore \( (x,y,z) \),
\( f((x,y,z))=( 2x-y+z, y+z ,x+z ) \), per il \( ker(f) \) a noi interessano quei vettori \( (x,y,z)\) tali che \( f((x,y,z))=0_{\mathbb{R}^3}\), quindi basta partire da questa uguaglianza \( ( 2x-y+z, y+z ,x+z ) =(0,0,0) \) che fornisce un sistema di equazioni lineari, ovvero \( \begin{cases}
2x-y+z=0\\
y+z=0\\
x+z=0
\end{cases} \), dalla matrice incompleta di questo notiamo che il rango è \(2\) ed il sistema per ovvi teoremi è indeterminato ed ammette \( \infty^1 \) soluzioni con \( 1 \) incognita libera scelta opportunamente, nel nostro caso scegliamo \( z \), notando anche che il sistema è equivalente a questo \( \begin{cases}
2x-y+z=0\\
y+z=0\\
\end{cases} \), e , senza scomodare troppo Cramer, per semplice sostituzione avremo \( \begin{cases}
x=-z\\
y=-z
\end{cases} \), ergo \( ker(f)=\{(-z,-z,z) | z \in \mathbb{R} \}\)... è possibile anche scrivere \( ker(f)=\{z(-1,-1,1)|z \in \mathbb{R}\}=\mathcal{L}\{(-1,-1,1)\}\), e banalmente \( (-1,-1,1) \) è anche base per \( ker(f) \), quindi \( dim_\mathbb{R}(ker(f))=1 \); dal teorema del rango possiamo dire che \( dim_\mathbb{R}(im(f))=3-1=2 \), dovendo esplicitare \( im(f) \), sappiamo per def. che \( im(f)=\{f((x,y,z))|(x,y,z) \in \mathbb{R}^3 \} \) quindi potrei scrivere che \( im(f)=\{( 2x-y+z, y+z ,x+z ) |x,y,z \in \mathbb{R} \} \) ma non vado molto lontano, allora occorre fare ulteriori considerazioni.. ovviamente \( dom(f) =\mathcal{L}\{(e_1,e_2,e_3)\} \), e per un teorema sugli omomorfismi certamente \( im(f)=f(\mathbb{R})=\mathcal{L}\{(f(e_1),f(e_2),f(e_3))\}\), ora mi conviene scomodare la base canonica, e avendo per ipotesi nota l'immagine di un generico vettore avremo:
\(f(e_1)=(2,0,1) \)
\(f(e_2)=(-1,1,0) \)
\( f(e_3)=(1,1,1) \)
quindi \( im(f)=\mathcal{L}\{((2,0,1),(-1,1,0),(1,1,1))\}\), ma sappiamo anche che la \( dim_\mathbb{R}(im(f))=2 \), quindi, dopo aver visto che \( (1,1,1) \in \mathcal{L}\{((2,0,1),(-1,1,0))\} \) e \( (2,0,1),(-1,1,0) \) sono liberi su \( \mathbb{R} \), posso dire \(im(f)=\mathcal{L}\{((2,0,1),(-1,1,0))\}\) e i generatori formano una base per \(im(f) \).
Per quanto riguarda le cartesiane, roba da pochi spiccioli avendo le basi sia del \( ker(f) \) che dell'\(im(f) \), spero in una risoluzione da parte dell'autore del post!!
Saluti & spero di non aver fatto errori di calcolo o di considerazioni!
P.S.=@stdio93, aspettiamo con ansia una tua risposta..
Precisamente mi dice "scrivere le equazioni dei sottospazi $ Ker L $ e $ ImL $
Sì allora si tratterà delle equazioni cartesiane.
@stdio93,
ok, sai come fare? Almeno un input!
Saluti
"stdio93":
Precisamente mi dice "scrivere le equazioni dei sottospazi $ Ker L $ e $ ImL $
ok, sai come fare? Almeno un input!
Saluti
Per le equazioni cartesiane basta considerare la matrice associata rispetto alle basi canoniche, in particolare devi considerare la matrice completa, avrai allora:
$ ( ( 2 , -1 , 1 , x_1 ),( 0 , 1 , 1 , x_2 ),( 1 , 0 , 1 , x_3 ) ) $
Dopo averla diagonalizzata avrai:
$ ( ( 1 , 0 , 1 , x_3 ),( 0 , 1 , 1 , x_2 ),( 0 , 0 , 0 , x_1-2x_3 + x_2 ) ) $
Quindi questa matrice che rappresenta il sistema lineare dal quale si ottengono gli elementi dell'immagine è compatibile per un noto teorema se e solo se il rango della matrice completa è uguale al rango della matrice incompleta. Devi quindi porre $ x_1 - 2x_3 + x_2=0 $ e questa è l'equazione cartesiana dell'immagine. Per il nucleo credo bastino $ { ( x_1+x_3=0 ),( x_2+x_3=0 ):} $
$ ( ( 2 , -1 , 1 , x_1 ),( 0 , 1 , 1 , x_2 ),( 1 , 0 , 1 , x_3 ) ) $
Dopo averla diagonalizzata avrai:
$ ( ( 1 , 0 , 1 , x_3 ),( 0 , 1 , 1 , x_2 ),( 0 , 0 , 0 , x_1-2x_3 + x_2 ) ) $
Quindi questa matrice che rappresenta il sistema lineare dal quale si ottengono gli elementi dell'immagine è compatibile per un noto teorema se e solo se il rango della matrice completa è uguale al rango della matrice incompleta. Devi quindi porre $ x_1 - 2x_3 + x_2=0 $ e questa è l'equazione cartesiana dell'immagine. Per il nucleo credo bastino $ { ( x_1+x_3=0 ),( x_2+x_3=0 ):} $
@otakon,
speravamo in un intervento dell'autore per le cartesiane
... cmq sia, quali sarebbero quindi per te le cartesiane del \( ker(f) \) e dell'\(im(f) \)?
Saluti
"otakon":
Per le equazioni cartesiane basta considerare la matrice associata rispetto alle basi canoniche, in particolare devi considerare la matrice completa, avrai allora:
$ ( ( 2 , -1 , 1 , x_1 ),( 0 , 1 , 1 , x_2 ),( 1 , 0 , 1 , x_3 ) ) $
Dopo averla diagonalizzata avrai:
$ ( ( 1 , 0 , 1 , x_3 ),( 0 , 1 , 1 , x_2 ),( 0 , 0 , 0 , x_1-2x_3 + x_2 ) ) $
Quindi questa matrice che rappresenta il sistema lineare dal quale si ottengono gli elementi dell'immagine è compatibile per un noto teorema se e solo se il rango della matrice completa è uguale al rango della matrice incompleta. Devi quindi porre $ x_1 - 2x_3 + x_2=0 $ e questa è l'equazione cartesiana dell'immagine. Per il nucleo credo bastino $ { ( x+z=0 ),( y+z=0 ):} $
speravamo in un intervento dell'autore per le cartesiane
... cmq sia, quali sarebbero quindi per te le cartesiane del \( ker(f) \) e dell'\(im(f) \)? Saluti
Però aspettavamo che stdio93 proponesse le sue idee...
@minomic,
possiamo sempre sperare..
!!
Saluti
P.S.=Peccato che nel forum non possiamo taggare o trillare ehehehe
"minomic":
Però aspettavamo che stdio93 proponesse le sue idee...
possiamo sempre sperare..
!!Saluti
P.S.=Peccato che nel forum non possiamo taggare o trillare ehehehe
Per l'immagine è $x_1 - 2x_3 + x_2=0 $ e la dimensione dello spazio immagine sarà di conseguenza 2 (cioè 3 (che è la dimensione delle terne di reali) - 1(che è il numero di equazioni cartesiane linearmente indipendenti)).
Per il nucleo è $ { ( x_1 + x_3=0 ),( x_2 + x_3=0 ):} $
come si è già dimostrato. Avendo ora 2 equazioni lin. indip. per lo stesso motivo di sopra ho che la dimensione del kernel sarà 3-2=1. In effetti il numero elementi della base del ker è 1. Ho sbagliato forse? Se si per favore ditemelo
Per il nucleo è $ { ( x_1 + x_3=0 ),( x_2 + x_3=0 ):} $
come si è già dimostrato. Avendo ora 2 equazioni lin. indip. per lo stesso motivo di sopra ho che la dimensione del kernel sarà 3-2=1. In effetti il numero elementi della base del ker è 1. Ho sbagliato forse? Se si per favore ditemelo
@otakon,
io ottengo nei miei calcoli, considerando \( (-1,-1,1)\) la base per \( ker(f) \) e \(((2,0,1),(-1,1,0))\) la base per \(im(f) \), $ { (x=y ),( x=-z ):} $ le cartesiane del \( ker(f) \) ed $ { (x+y-2z=0 ):} $ le cartesiane per \( im(f) \)... quindi mmm, per l'immagine ci siamo, ovviamente per te \( x_1=x \) e \( x_2=y \) e \( x_3=z \)
, ma per il nucleo mi sembra di no! Che metodo hai usato? Sono curioso
Saluti
"otakon":
Per l'immagine è $x_1 - 2x_3 + x_2=0 $ e la dimensione dello spazio immagine sarà di conseguenza 2 (cioè 3 (che è la dimensione delle terne di reali) - 1(che è il numero di equazioni cartesiane linearmente indipendenti)).
Per il nucleo è $ { ( x_1 + x_3=0 ),( x_2 + x_3=0 ):} $
come si è già dimostrato. Avendo ora 2 equazioni lin. indip. per lo stesso motivo di sopra ho che la dimensione del kernel sarà 3-2=1. In effetti il numero elementi della base del ker è 1. Ho sbagliato forse? Se si per favore ditemelo
io ottengo nei miei calcoli, considerando \( (-1,-1,1)\) la base per \( ker(f) \) e \(((2,0,1),(-1,1,0))\) la base per \(im(f) \), $ { (x=y ),( x=-z ):} $ le cartesiane del \( ker(f) \) ed $ { (x+y-2z=0 ):} $ le cartesiane per \( im(f) \)... quindi mmm, per l'immagine ci siamo, ovviamente per te \( x_1=x \) e \( x_2=y \) e \( x_3=z \)
, ma per il nucleo mi sembra di no! Che metodo hai usato? Sono curioso Saluti
Per il kernel studio il sistema :
$ { ( 2x - y +z=0 ),( y + z=0 ),( x + z=0 ):} $
ora però la prima è combinazione lineare della seconda e della terza(ad esempio) e si vede subito perche è il doppio della terza meno la seconda così in realtà il sistema si può ridurre a :
$ { ( y + z=0 ),( x + z=0 ):} $
Quindi io intendevo prendere queste due equazioni cartesiane per determinare il kernel. E' sbagliato? Con le dimensioni mi torna tutto come ho scritto prima
$ { ( 2x - y +z=0 ),( y + z=0 ),( x + z=0 ):} $
ora però la prima è combinazione lineare della seconda e della terza(ad esempio) e si vede subito perche è il doppio della terza meno la seconda così in realtà il sistema si può ridurre a :
$ { ( y + z=0 ),( x + z=0 ):} $
Quindi io intendevo prendere queste due equazioni cartesiane per determinare il kernel. E' sbagliato? Con le dimensioni mi torna tutto come ho scritto prima
@otakon,
io procedo diversamente, se la base del \( ker(f) \) è \((-1,-1,1)\) associo a tale base la matrice
$ || (-1,x_1),(-1,x_2),(1,x_3)|| $, sapendo che la \( dim_\mathbb{R}(ker(f))=1 \) considero una sottomatrice quadrata di ordine \( 1 \) il cui determinante è non nullo ed è composta da soli elementi della base, prendiamo $ ||-1|| $, in seguito considero tutte le possibili sottomatrici di ordine \( 2 \) aventi la riga $||-1 \mbox{ }x_1||$, ovvero $ || (-1,x_1),(-1,x_2)||$ e $ || (-1,x_1),(1,x_3) || $, i loro determinanti uguagliati a \( 0 \) sono le equazioni lineari cercate, ovvero $ { (det( ||(-1,x_1),(-1,x_2)||)=0),(det(|| (-1,x_1),(1,x_3)||)=0):} $ ... stessa cosa per per le cartesiane dell'\(im(f)\)..
Spero si sia capito, saluti!
P.S.=Il metodo forse è lo stesso di quello che si usa in geometria per le cartesiane e parametriche di varietà lineari..!! , non vorrei sbagliarmi, devo controllare, ma il metodo può essere applicato a un qualsiasi sottospazio di \( k^n \) generato da un numero di vettori..!
"otakon":
Per il kernel studio il sistema :
$ { ( 2x - y +z=0 ),( y + z=0 ),( x + z=0 ):} $
ora però la prima è combinazione lineare della seconda e della terza(ad esempio) e si vede subito perche è il doppio della terza meno la seconda così in realtà il sistema si può ridurre a :
$ { ( y + z=0 ),( x + z=0 ):} $
Quindi io intendevo prendere queste due equazioni cartesiane per determinare il kernel. E' sbagliato? Con le dimensioni mi torna tutto come ho scritto prima
io procedo diversamente, se la base del \( ker(f) \) è \((-1,-1,1)\) associo a tale base la matrice
$ || (-1,x_1),(-1,x_2),(1,x_3)|| $, sapendo che la \( dim_\mathbb{R}(ker(f))=1 \) considero una sottomatrice quadrata di ordine \( 1 \) il cui determinante è non nullo ed è composta da soli elementi della base, prendiamo $ ||-1|| $, in seguito considero tutte le possibili sottomatrici di ordine \( 2 \) aventi la riga $||-1 \mbox{ }x_1||$, ovvero $ || (-1,x_1),(-1,x_2)||$ e $ || (-1,x_1),(1,x_3) || $, i loro determinanti uguagliati a \( 0 \) sono le equazioni lineari cercate, ovvero $ { (det( ||(-1,x_1),(-1,x_2)||)=0),(det(|| (-1,x_1),(1,x_3)||)=0):} $ ... stessa cosa per per le cartesiane dell'\(im(f)\)..
Spero si sia capito, saluti!
P.S.=Il metodo forse è lo stesso di quello che si usa in geometria per le cartesiane e parametriche di varietà lineari..!!
, non vorrei sbagliarmi, devo controllare, ma il metodo può essere applicato a un qualsiasi sottospazio di \( k^n \) generato da un numero di vettori..!
Ora non ho freschissimi i determinanti ma se gli sviluppi non ottieni :
$ { ( -x_2 + x_1 =0 ),( -x_3 - x_1=0 ):} $ ?
Questo alla fine è lo stesso sistema che ho scritto io solo che la prima è data da una combinazione delle due che ho scritto io, cioè la seconda meno la prima. Ora non so mi fido di te che sei un advanced member
$ { ( -x_2 + x_1 =0 ),( -x_3 - x_1=0 ):} $ ?
Questo alla fine è lo stesso sistema che ho scritto io solo che la prima è data da una combinazione delle due che ho scritto io, cioè la seconda meno la prima. Ora non so mi fido di te che sei un advanced member
@otakon,
non saprei dirlo con certezza se come fai tu è corretto o meno, solo che usiamo metodi diversi
, non fidarti dell"Advanced member" io studio fisica e non matematica.. 
Sì cmq, i determinanti sviluppati danno quel sistema...!
Saluti
"otakon":
Ora non ho freschissimi i determinanti ma se gli sviluppi non ottieni :
$ { ( -x_2 + x_1 =0 ),( -x_3 - x_1=0 ):} $ ?
Questo alla fine è lo stesso sistema che ho scritto io solo che la prima è data da una combinazione delle due che ho scritto io, cioè la seconda meno la prima. Ora non so mi fido di te che sei un advanced member
non saprei dirlo con certezza se come fai tu è corretto o meno, solo che usiamo metodi diversi
, non fidarti dell"Advanced member" io studio fisica e non matematica.. Sì cmq, i determinanti sviluppati danno quel sistema...!
Saluti
Anche io studio fisica e sto al primo anno e i determinanti non gli abbiamo fatti quindi parlo con rimembranze delle superiori. Magari aspettiamo il commento di un matematico ahahhah
@otakon,
cmq sia mi sa che abbiamo entrambi ragione, tu avevi scritto $ { ( x+z=0 ),( y+z=0 ):} $ mentre io avevo scritto $ { ( x-y =0 ),(x+z=0 ):} $ ergo dalle tue si deduce che $ { ( x=-z ),( y=-z ):} $ mentre dalle mie $ { ( x=y ),( x=-z ):} $, i due sistemi di equazioni sono equivalenti, spero di non aver detto una cavolata ma così sembra e basta vedere come sono formati i vettori del \( ker(f) \)
Saluti
"otakon":
Anche io studio fisica e sto al primo anno e i determinanti non gli abbiamo fatti quindi parlo con rimembranze delle superiori. Magari aspettiamo il commento di un matematico ahahhah
cmq sia mi sa che abbiamo entrambi ragione, tu avevi scritto $ { ( x+z=0 ),( y+z=0 ):} $ mentre io avevo scritto $ { ( x-y =0 ),(x+z=0 ):} $ ergo dalle tue si deduce che $ { ( x=-z ),( y=-z ):} $ mentre dalle mie $ { ( x=y ),( x=-z ):} $, i due sistemi di equazioni sono equivalenti, spero di non aver detto una cavolata ma così sembra e basta vedere come sono formati i vettori del \( ker(f) \)
Saluti
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