Equazioni lineari

[mmattiak]

Ciao a tutti, sapresti scrivere un equazione lineare in tre indeterminate (k1x1+k2x2+k3x3=0) tale che il tutti gli elementi del sottospazio generato dai vettori v1(1,0,4) e v2(-1,1,2) siano soluzione. Qual è il metodo per risolvere questo quesito?

[Trilogy]

Ti conviene scrivere meglio le domande, se vuoi che qualcuno ti dia una mano. Non sono sicuro che il mio sia il metodo "più giusto", né di saperlo spiegare limpidamente, ma possiamo provare insieme.
Spero che l'equazione che volevi scrivere sia $k_1x_1+k_2x_2+k_3x_3=0$, e che tu stia lavorando in $\mathbb R$. Tu vuoi che i vettori dello spazio $$\langle (1,0,4),(-1,1,2)\rangle=\{(a-b,b,4a+2b)\mid a,b\in\mathbb R\}$$ siano soluzioni della tua equazione, perciò puoi sostituire il generico vettore del suddetto spazio al posto di $(x_1,x_2,x_3)$ nella tua equazione. Così facendo, ottieni $$k_1(a-b)+k_2b+k_3(4a+2b)=0.$$ Visto che vale per ogni $a,b\in\mathbb R$, in particolare puoi scegliere prima $(a,b)=(1,0)$, e poi $(a,b)=(0,1)$, ottenendo così le equazioni $$k_1+4k_3=0,\qquad -k_1+k_2+2k_3=0.$$ Da queste puoi ricavare ancora $$k_1=-4k_3,\qquad k_2=k_1-2k_3=-4k_3-2k_3=-6k_3.$$ Cioè, l'equazione che stai cercando diventa $$-4k_3x_1-6k_3x_2+k_3x_3=0.$$ A questo punto puoi scegliere $k_3=-1$, ed arrivi a $$4x_1+6x_2-x_3=0.$$ Puoi verificare che il generico vettore del tuo spazio è soluzione di questa equazione.
[ot]È abbastanza divertente, a proposito, imparare a scrivere formule "in bel modo"! Ed è utile, per comunicare col resto del mondo [/ot]

[Sk_Anonymous]

Si può semplificare il procedimento osservando che l'equazione richiesta si ottiene annullando il determinante della matrice seguente:
\begin{pmatrix}x_1&x_2&x_3\\1&0&4\\-1&1&-2\end{pmatrix}
Facendo i relativi calcoli si ha appunto :
$4x_1+6x_2-x_3=0$