Equazioni e funzioni complesse
non so se questa è la sezione giusta ma lo metto qui poiché Martedì ho un esame di Geometria 1 e mi sono trovato nei fogli di esercizi questi problemi. Pensavo di chiederli al professore ma dato che è irreperibile spero voi mi possiate dare una risposta
1) Ho l'equazione a coefficienti complessi:
$z^2-2z+1+2i=0$
io ho proceduto in questo modo. la formula risolutiva (che in teoria dovrebbe valere anche a coefficienti complessi giusto?) è:
$z_(1,2)=(-b \pm sqrt(\Delta))/(2a)$
Ma $\Delta=-8i$. Nessun problema per la negatività, $CC$ è algebricamente chiuso. Però mentre nel caso reale la radice si prende in modulo (per questo si mette poi il $\pm$) nel caso complesso $-8i$ ammette due radici diverse. Quindi con il $\pm$ otterrei 4 soluzioni diverse dell'equazione, il che è ovviamente un'oscenità. Nella fattispecie le due soluzioni sono:
$sqrt(-8i)={(-2+2i),(2+2i):}$
dato che non sono soluzioni opposte bensì sono simmetriche rispetto all'asse immaginario, con il $\pm$ ottengo effettivamente 4 soluzioni diverse. Come devo procedere?
2) Ho una funzione di variabile complessa:
$f(z)=((1-2i)z+3i)/((1-i)z+2)$
e devo trovare la funzione $f^(-1)(z)$
se ho $f(z)=\omega$, allora devo trovare $z$ in funzione di $\omega$ giusto? però non riesco a trovare $z=f(\omega)$ perché mi compare z irrimediabilmente anche a destra dell'uguale.
3) Ho un insieme $D_\alpha={z \in CC t.c. |((z-2-i)/(\bar z+2+i))|<\alpha}
ora, sicuramente i punti dell'espressione sono i punti della palla di centro l'origine e di raggio $\alpha$, ma cosa posso dire invece degli z? pensavo di vedere qual è la funzione inversa di $(z-2-i)/(\bar z+2+i)$ e vedere qual è l'immagine tramite $f^(-1)$ della palla di prima. e quindi si riparla di funzioni inverse
vi ringrazio dell'aiuto, so che sono scemate ma ho una confusione incredibile su queste cose
1) Ho l'equazione a coefficienti complessi:
$z^2-2z+1+2i=0$
io ho proceduto in questo modo. la formula risolutiva (che in teoria dovrebbe valere anche a coefficienti complessi giusto?) è:
$z_(1,2)=(-b \pm sqrt(\Delta))/(2a)$
Ma $\Delta=-8i$. Nessun problema per la negatività, $CC$ è algebricamente chiuso. Però mentre nel caso reale la radice si prende in modulo (per questo si mette poi il $\pm$) nel caso complesso $-8i$ ammette due radici diverse. Quindi con il $\pm$ otterrei 4 soluzioni diverse dell'equazione, il che è ovviamente un'oscenità. Nella fattispecie le due soluzioni sono:
$sqrt(-8i)={(-2+2i),(2+2i):}$
dato che non sono soluzioni opposte bensì sono simmetriche rispetto all'asse immaginario, con il $\pm$ ottengo effettivamente 4 soluzioni diverse. Come devo procedere?
2) Ho una funzione di variabile complessa:
$f(z)=((1-2i)z+3i)/((1-i)z+2)$
e devo trovare la funzione $f^(-1)(z)$
se ho $f(z)=\omega$, allora devo trovare $z$ in funzione di $\omega$ giusto? però non riesco a trovare $z=f(\omega)$ perché mi compare z irrimediabilmente anche a destra dell'uguale.
3) Ho un insieme $D_\alpha={z \in CC t.c. |((z-2-i)/(\bar z+2+i))|<\alpha}
ora, sicuramente i punti dell'espressione sono i punti della palla di centro l'origine e di raggio $\alpha$, ma cosa posso dire invece degli z? pensavo di vedere qual è la funzione inversa di $(z-2-i)/(\bar z+2+i)$ e vedere qual è l'immagine tramite $f^(-1)$ della palla di prima. e quindi si riparla di funzioni inverse
vi ringrazio dell'aiuto, so che sono scemate ma ho una confusione incredibile su queste cose
Risposte
Ciao!
Ricorda che le due soluzioni di un'equazione del tipo $x^2=a$ sono sempre una l'opposta dell'altra.
"Rinhos":Ma $(2+2i)^2=8i$, non $-8i$.
$sqrt(-8i)={(-2+2i),(2+2i):}$
Ricorda che le due soluzioni di un'equazione del tipo $x^2=a$ sono sempre una l'opposta dell'altra.
"Martino":Ma $(2+2i)^2=8i$, non $-8i$.
Ciao!
[quote="Rinhos"]$sqrt(-8i)={(-2+2i),(2+2i):}$
Ricorda che le due soluzioni di un'equazione del tipo $x^2=a$ sono sempre una l'opposta dell'altra.[/quote]
hai ragione, l'altra radice è proprio $2-2i$. grazie
1) risolto
"Rinhos":
2) Ho una funzione di variabile complessa:
$f(z)=((1-2i)z+3i)/((1-i)z+2)$
e devo trovare la funzione $f^(-1)(z)$
se ho $f(z)=\omega$, allora devo trovare $z$ in funzione di $\omega$ giusto? però non riesco a trovare $z=f(\omega)$ perché mi compare z irrimediabilmente anche a destra dell'uguale.
"Irrimediabilmente" non direi
Come hai detto tu, devi ricavare $z$ da $w$
$w=((1-2i)z+3i)/((1-i)z+2)$
$((1-i)z+2)w=((1-2i)z+3i)$
$(1-i)zw-(1-2i)z=-2w+3i$
$[(1-i)w-(1-2i)]z=-2w+3i$
$z=\frac{-2w+3i}{(1-i)w-(1-2i)}$
Spero di non aver sbagliato i conti...
"cirasa":
[quote="Rinhos"]2) Ho una funzione di variabile complessa:
$f(z)=((1-2i)z+3i)/((1-i)z+2)$
e devo trovare la funzione $f^(-1)(z)$
se ho $f(z)=\omega$, allora devo trovare $z$ in funzione di $\omega$ giusto? però non riesco a trovare $z=f(\omega)$ perché mi compare z irrimediabilmente anche a destra dell'uguale.
"Irrimediabilmente" non direi
Come hai detto tu, devi ricavare $z$ da $w$
$w=((1-2i)z+3i)/((1-i)z+2)$
$((1-i)z+2)w=((1-2i)z+3i)$
$(1-i)zw-(1-2i)z=-2w+3i$
$[(1-i)w-(1-2i)]z=-2w+3i$
$z=\frac{-2w+3i}{(1-i)w-(1-2i)}$
Spero di non aver sbagliato i conti...[/quote]
grazie mille! ho rifatto anch'io i conti autonomamente e mi è tornato, in pratica devo cercare di raccogliere il più possibile la $z$ da una parte.
ma se allora dovessi trovarmi la funzione inversa della funzione del punto 2) avrei
$(z-2-i)/(\bar z+2-i)=\omega \iff z-2-i=\omega(\bar z +2-i) \iff z-2-i=\omega\bar z+2\omega-i\omega \iff z-\bar z\omega=2\omega-i\omega+2+i$
e ora quel $\bar z$ come lo tiro via?
Un'idea potrebbe essere la seguente:
$z-\bar{z}w=2w-iw+2+i$ (*)
Facendo il complesso coniugato di ambo i membri:
$\bar{z}-z\bar{w}=2\bar{w}+i\bar{w}+2-i$ (**)
Non ho fatto i conti, ma dalle due equazioni (*) e (**) si dovrebbe riuscire a ricavare $z$. E' un sistema lineare a due equazioni nelle due incognite $z$ e $\bar{z}$.
Se mi viene qualche altra idea te lo faccio sapere.
$z-\bar{z}w=2w-iw+2+i$ (*)
Facendo il complesso coniugato di ambo i membri:
$\bar{z}-z\bar{w}=2\bar{w}+i\bar{w}+2-i$ (**)
Non ho fatto i conti, ma dalle due equazioni (*) e (**) si dovrebbe riuscire a ricavare $z$. E' un sistema lineare a due equazioni nelle due incognite $z$ e $\bar{z}$.
Se mi viene qualche altra idea te lo faccio sapere.
"cirasa":
Un'idea potrebbe essere la seguente:
$z-\bar{z}w=2w-iw+2+i$ (*)
Facendo il complesso coniugato di ambo i membri:
$\bar{z}-z\bar{w}=2\bar{w}+i\bar{w}+2-i$ (**)
Non ho fatto i conti, ma dalle due equazioni (*) e (**) si dovrebbe riuscire a ricavare $z$. E' un sistema lineare a due equazioni nelle due incognite $z$ e $\bar{z}$.
Se mi viene qualche altra idea te lo faccio sapere.
hai ragione, così facendo mi viene:
$z=((4-2i)w+|w|^2(2+i)+2+i)/(1-|w|^2)$
non è una funzione proprio bellissima, ma almeno ci si può lavorare
grazie
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