Equazioni di un sottospazio in un riferimento R

[maria951]

Salve a tutti, avrei bisogno di chiarimenti nello svolgimento di un esercizio in particolare.
Si determino le equazioni del sottospazio V di R^4 generato dai vettori (1,1,1,0),(1,0,1,-1) nel riferimento R=((-1,0,1,0),(0,0,1,-1),(1,0,1,0),(0,1,0,0)).
Da qualche parte ho letto di una matrice di cambio di riferimento ma non è un argomento trattato a lezione, perciò vorrei provare a svolgere l'esercizio in un altro modo.
Ho provato a scrivere i vettori base di V come combinazione lineare dei vettori di R e ho ottenuto come componenti di (1,1,1,0) : (0,0,1,1) e come componenti di (1,0,1,-1) : (-1/2,1,1/2,0) e a metterli in una matrice per poi trovare le equazioni ma non so se il procedimento è corretto.
Grazie in anticipo a tutti.

[kobeilprofeta]

Supponiamo di avere due basi: $a_1,...,a_n$ ed $b_1,...b_n$.
Sia A la matrice del passaggio base dalla base $a$ alla base $b$. A è tale che se moltiplicata per un vettore che dà le coordinate rispetto alla base $a$, restituisce il vettore coordinate rispetto alla base $b$. A ha come colonne le coordinate degli elementi della prima base rispetto alla seconda base.

Ora noi vogliamo scrivere i vettori (1,1,1,0) e (1,0,1,-1) secondo la base canonica.
Modo 1: uso la mtrice di cambio base:
per colonne metto i vettori della base R secondo la base canonica:
$A=((1,0,1,0),(0,0,0,1),(1,1,1,0),(0,-1,0,0))$ e la moltiplo prima per (1,1,1,0) e poi per (1,0,1,-1)
ora ho ottenuto i due vettori nella base canonica
Modo 2: i vettori mi danno le coordinate (combinazione lineare)
(1,1,1,0) secondo la canonica si scriverà come (a,b,c,d), dove $(a,b,c,d)=1*(1,0,1,0)+1*(0,0,1,-1)+1*(1,0,1,0)+0*(0,1,0,0)$ e in questo modo trovo a,b,c,d. faccio lo stesso per l'altro vettore.


ora che ho i due vettori scritti secondo la base canonica posso lavorare normalmente


spero si sia capito