Equazioni di un omomorfismo in teoria..
Buonpomeriggio a tutti, da poche ore sono passato alle equazioni di un omomorfismo e sono incappato in parecchi problemi di natura teorica per lo più...
Dunque dati due spazi vettoriale $V_1 e V_2$ stabilisco fra di loro un omomorfismo e dico inoltre che lo spazio $V_1$ ha una base che per esempio è formata da $B=(a_1,.....,a_n)$ n vettori, per cui $dimV_1=n$. Poi dico pure che $V_2$ ha una base formata da $B'=(b_1,.....,b_m)$ m vettori, per cui $dimV_2=m$
A questo punto sugli appunti comincia una dimostrazione di cui non capisco il senso, insomma a che scopo devo trovare ste equazioni dell'omomorfismo, che cosa voglio raggiungere?
Siccome perdo di vista l'obiettivo non capisco alcuni passaggi della dimostrazione, cerco di farla qui e di farvi capire dove ho problemi
Prendiamo un vettore di $V_1$ $x$, questo vettore siccome appartiene a $V_1$ posso scomporlo rispetto alla base $B$ che ho stabilito nelle premesse giusto?
Quindi scompongo $x=\sum_{i=1}^n (x_i)(a_i)$
dove le $x_i$ sono i coefficienti che moltiplicati per la base mi danno la scomposizione del vettore $x$ rispetto alla base $B$
Siccome ho stabilito un omomorfismo a ogni vettore $x$ di $V_1$ associo un vettore $f(x)$ di $V_2$
Posso dunque scrivere che l'immagine di $x$ è $f(x)=f(\sum_{i=1}^n (x_i)(a_i))$
L'omomorfismo stabilito è lineare per cui posso "spezzare" la $f$
$f(x)=f(\sum_{i=1}^n (x_i)(a_i))=\sum_{i=1}^n (x_i)f(a_i)$
Fin qui tutto bene, poi notiamo che $f(a_i) $ è pur sempre un vettore di $V_2$, esso dunque deve poter esprimersi come combinazione lineare dei vettori della base $B'$
Dunque $f(a_i)=\sum_{j=1}^m (a_(ij))(b_j))$
Poi ci metto questa nuova espressione di $f(a_i)$ dentro alla ugualglianza da cui ero partito ottenendo che :
$f(x)=\sum_{i=1}^n (x_i)(\sum_{j=1}^m (a_(ij))(b_j))$
Arrivato qui mi perdo non so più che fare ne dove andare a parare..
Senza contare il problema delle matrici associate alle equazioni vettoriali, su questo è tutto una nebbia di confusione..
ps ho consultato anche il pdf "Algebra lineare for dummies$ senza molto successo..
Dunque dati due spazi vettoriale $V_1 e V_2$ stabilisco fra di loro un omomorfismo e dico inoltre che lo spazio $V_1$ ha una base che per esempio è formata da $B=(a_1,.....,a_n)$ n vettori, per cui $dimV_1=n$. Poi dico pure che $V_2$ ha una base formata da $B'=(b_1,.....,b_m)$ m vettori, per cui $dimV_2=m$
A questo punto sugli appunti comincia una dimostrazione di cui non capisco il senso, insomma a che scopo devo trovare ste equazioni dell'omomorfismo, che cosa voglio raggiungere?
Siccome perdo di vista l'obiettivo non capisco alcuni passaggi della dimostrazione, cerco di farla qui e di farvi capire dove ho problemi
Prendiamo un vettore di $V_1$ $x$, questo vettore siccome appartiene a $V_1$ posso scomporlo rispetto alla base $B$ che ho stabilito nelle premesse giusto?
Quindi scompongo $x=\sum_{i=1}^n (x_i)(a_i)$
dove le $x_i$ sono i coefficienti che moltiplicati per la base mi danno la scomposizione del vettore $x$ rispetto alla base $B$
Siccome ho stabilito un omomorfismo a ogni vettore $x$ di $V_1$ associo un vettore $f(x)$ di $V_2$
Posso dunque scrivere che l'immagine di $x$ è $f(x)=f(\sum_{i=1}^n (x_i)(a_i))$
L'omomorfismo stabilito è lineare per cui posso "spezzare" la $f$
$f(x)=f(\sum_{i=1}^n (x_i)(a_i))=\sum_{i=1}^n (x_i)f(a_i)$
Fin qui tutto bene, poi notiamo che $f(a_i) $ è pur sempre un vettore di $V_2$, esso dunque deve poter esprimersi come combinazione lineare dei vettori della base $B'$
Dunque $f(a_i)=\sum_{j=1}^m (a_(ij))(b_j))$
Poi ci metto questa nuova espressione di $f(a_i)$ dentro alla ugualglianza da cui ero partito ottenendo che :
$f(x)=\sum_{i=1}^n (x_i)(\sum_{j=1}^m (a_(ij))(b_j))$
Arrivato qui mi perdo non so più che fare ne dove andare a parare..

Senza contare il problema delle matrici associate alle equazioni vettoriali, su questo è tutto una nebbia di confusione..
ps ho consultato anche il pdf "Algebra lineare for dummies$ senza molto successo..
Risposte
Credo che questa sia la dimostrazione del fatto che un omomorfismo di spazi vettoriali (per gli amici, un'applicazione lineare) è univocamente determinato dai valori che assume su una base, ovvero, una volta fissata una base in partenza e una in arrivo, la mappa lineare è univocamente determinata dalla sua matrice associata (e ogni matrice associata determina una mappa lineare).
In pratica, una volta fissata una base in partenza e una in arrivo, c'è una naturale corrispondenza biunivoca (e in futuro vedrai che è molto più di una semplice corrisponda biunivoca) tra l'insieme delle applicazione lineari da $V_1$ in $V_2$ e le matrici $m \times n$ a coefficienti sul campo su cui vivono $V_1$ e $V_2$.
Se non ho centrato il punto, ti pregherei di essere più preciso in merito all'enunciato (ci sarà pur scritto qualcosa sugli appunti) di quello che vuoi dimostrare...o hai una dimostrazione che parte dal nulla e finisce nel nulla?
In pratica, una volta fissata una base in partenza e una in arrivo, c'è una naturale corrispondenza biunivoca (e in futuro vedrai che è molto più di una semplice corrisponda biunivoca) tra l'insieme delle applicazione lineari da $V_1$ in $V_2$ e le matrici $m \times n$ a coefficienti sul campo su cui vivono $V_1$ e $V_2$.
Se non ho centrato il punto, ti pregherei di essere più preciso in merito all'enunciato (ci sarà pur scritto qualcosa sugli appunti) di quello che vuoi dimostrare...o hai una dimostrazione che parte dal nulla e finisce nel nulla?
Dunque a ogni omomorfismo è associata una matrice giusto? Questa matrice è univocamente determinata, insomma attraverso una matrice posso rappresentare un omomorfismo..a questo punto quello che non mi è chiaro è :
1) Come si trova tale matrice? (Quella dimostrazione dovrebbe servire anche a far vedere come si trovano le scomposizioni delle immagini dei vettori dello spazio di partenza date due basi fissate, una di partenza e una di arrivo)
2)Perchè c'è bisogno di rappresentare un'applicazione lineare con una matrice?
3)Quella sommatoria finale a cui sono giunto potrebbe essere uguagliata a qualche altra cosa? Potrebbe rappresentare la scomposizione univcamente determinata delle immagini dei vettori dello spazio di partenza?
Purtroppo la dimostrazione inizia nel nulla e finisce nel nulla fine a se stessa, la professoressa è andata parecchio veloce su questo punto per finire la spiegazione negli ultimi 10 minuti...
ps la stessa prof ci ha caldamente raccomandato di non comprare nessun libro e di studiare sui suoi appunti ma a questo punto direi che me ne serve uno..
1) Come si trova tale matrice? (Quella dimostrazione dovrebbe servire anche a far vedere come si trovano le scomposizioni delle immagini dei vettori dello spazio di partenza date due basi fissate, una di partenza e una di arrivo)
2)Perchè c'è bisogno di rappresentare un'applicazione lineare con una matrice?
3)Quella sommatoria finale a cui sono giunto potrebbe essere uguagliata a qualche altra cosa? Potrebbe rappresentare la scomposizione univcamente determinata delle immagini dei vettori dello spazio di partenza?
Purtroppo la dimostrazione inizia nel nulla e finisce nel nulla fine a se stessa, la professoressa è andata parecchio veloce su questo punto per finire la spiegazione negli ultimi 10 minuti...

ps la stessa prof ci ha caldamente raccomandato di non comprare nessun libro e di studiare sui suoi appunti ma a questo punto direi che me ne serve uno..
Prima di comprare un testo ti consiglio di prenderlo in prestito e vedere come ti trovi. Io ho studiato algebra lineare sul libro di Abate; altri ottimi libri sono il Lang e il Sernesi, sebbene quest'ultimo sia considerato difficile come primo testo di geometria.
Comunque partiamo dall'inizio. Hai due spazi vettoriali $V$ e $W$ e fissi due basi, una in partenza e una in arrivo, che chiamiamo $P = \{ v_1 ... v_n\}$ e $A = \{ w_1 ... w_m\}$. Data un'applicazione lineare $f$ da $V$ in $W$, $f$ ha una rappresentazione matriciale, che dipende dalle basi scelte. Indichiamo con $M$ la matrice associata a $f$ nelle basi $P,A$. Allora l'entrata $ij$-esima di $M$ è l'$i$-esimo coefficiente di $f(v_j)$ nella sua scrittura nella base $A$. Ovvero, tu prendi tutte le immagini $f(v_1) ... f(v_n)$, che sono vettori di $W$ e le scrivi nella base di arrivo (la scrittura è unica per definizione di base!). I coefficienti di quella scrittura diventano le colonne della matrice $M$. Questo è un modo standard per trovare la matrice associata a un'applicazione lineare in due basi date.
A cosa serve rappresentare un'applicazione lineare con una matrice. Facile: perché si fanno meglio i conti. Infatti prendi la tua $M$. Prendi una vettore $v$ in partenza e scrivilo nelle coordinate della tua base $P$. Prendi il vettore $p$ delle coordinate (che è un vettore colonna di $\RR^n$) e calcola il prodotto righe-per-colonne $Mp$. Il risultato è un vettore colonna di $\RR^m$, che chiamiamo $a$. Ecco: le entrate di $a$ sono i coefficienti di $f(v)$ nella base $A$. Se ti fai qualche esempio vedrai che le cose tornano. Questo passaggio, che a mio avviso con la scrittura matriciale è molto più chiaro che con le sommatorie, dovrebbe essere l'ultima eguaglianza del tuo post.
Ci sono due cose a cui bisogna stare attenti: prima di tutto si deve capire che i vettori di uno spazio vettoriale e le coordinate dei vettori in una base data sono due cose diverse, anche se spesso hanno la stessa scrittura (con un po' di dimestichezza impari che sono due cose diverse, ma spesso intercambiabili, e quindi non vale la pena usare notazioni diverse); la seconda cosa che deve essere chiara è che a priori non ha senso parlare di matrice associata senza fissare una base in partenza e una in arrivo, sebbene a volte si faccia finta di nulla e si considerino le basi canoniche degli spazi considerati.
Comunque partiamo dall'inizio. Hai due spazi vettoriali $V$ e $W$ e fissi due basi, una in partenza e una in arrivo, che chiamiamo $P = \{ v_1 ... v_n\}$ e $A = \{ w_1 ... w_m\}$. Data un'applicazione lineare $f$ da $V$ in $W$, $f$ ha una rappresentazione matriciale, che dipende dalle basi scelte. Indichiamo con $M$ la matrice associata a $f$ nelle basi $P,A$. Allora l'entrata $ij$-esima di $M$ è l'$i$-esimo coefficiente di $f(v_j)$ nella sua scrittura nella base $A$. Ovvero, tu prendi tutte le immagini $f(v_1) ... f(v_n)$, che sono vettori di $W$ e le scrivi nella base di arrivo (la scrittura è unica per definizione di base!). I coefficienti di quella scrittura diventano le colonne della matrice $M$. Questo è un modo standard per trovare la matrice associata a un'applicazione lineare in due basi date.
A cosa serve rappresentare un'applicazione lineare con una matrice. Facile: perché si fanno meglio i conti. Infatti prendi la tua $M$. Prendi una vettore $v$ in partenza e scrivilo nelle coordinate della tua base $P$. Prendi il vettore $p$ delle coordinate (che è un vettore colonna di $\RR^n$) e calcola il prodotto righe-per-colonne $Mp$. Il risultato è un vettore colonna di $\RR^m$, che chiamiamo $a$. Ecco: le entrate di $a$ sono i coefficienti di $f(v)$ nella base $A$. Se ti fai qualche esempio vedrai che le cose tornano. Questo passaggio, che a mio avviso con la scrittura matriciale è molto più chiaro che con le sommatorie, dovrebbe essere l'ultima eguaglianza del tuo post.
Ci sono due cose a cui bisogna stare attenti: prima di tutto si deve capire che i vettori di uno spazio vettoriale e le coordinate dei vettori in una base data sono due cose diverse, anche se spesso hanno la stessa scrittura (con un po' di dimestichezza impari che sono due cose diverse, ma spesso intercambiabili, e quindi non vale la pena usare notazioni diverse); la seconda cosa che deve essere chiara è che a priori non ha senso parlare di matrice associata senza fissare una base in partenza e una in arrivo, sebbene a volte si faccia finta di nulla e si considerino le basi canoniche degli spazi considerati.
Più o meno penso di aver capito, in pratica dato un omomorfismo alla decomposizione di un vettore dello spazio di partenza rispetto a una data base, associamo la decomposizione della sua immagine rispetto ad un'altra base fissata...
Giusto per chiarire il tutto definitivamente mi faresti un esempio numerico?
E poi una domanda sulle basi che fissiamo, insomma se io fisso una qualsiasi base nello spazio di partenza, i vettori ceh costituiscono la base di arrivo non devono essere per forza le immagini dei vettori della base di partenza giusto?
La domanda sorge perhè un'applicazione lineare manda basi in basi se le dimensioni degli spazi vettoriale presi in considerazione coincidono..se questo non avviene, come ne nostro caso d'altronde, la base che fisso nello spazio di arrivo è totalmente arbitraria e slegata dall'omomorfismo associato? Cioè posso prendere la base che voglio senza tenere conto di come è fatta la base dello spazio di partenza?
Giusto per chiarire il tutto definitivamente mi faresti un esempio numerico?

E poi una domanda sulle basi che fissiamo, insomma se io fisso una qualsiasi base nello spazio di partenza, i vettori ceh costituiscono la base di arrivo non devono essere per forza le immagini dei vettori della base di partenza giusto?
La domanda sorge perhè un'applicazione lineare manda basi in basi se le dimensioni degli spazi vettoriale presi in considerazione coincidono..se questo non avviene, come ne nostro caso d'altronde, la base che fisso nello spazio di arrivo è totalmente arbitraria e slegata dall'omomorfismo associato? Cioè posso prendere la base che voglio senza tenere conto di come è fatta la base dello spazio di partenza?

Le basi si fissano sugli spazi, non dipendono dall'applicazione che prendi! Insomma, la base è una cosa propria dello spazio, viene prima dell'applicazione. Non è neanche vero che se la dimensione in partenza è la stessa della dimensione in arrivo, allora l'applicazione manda basi in basi. Si può solo dire che le immagini di una base sono un sistema di generatori (non necessariamente una base) dell'immagine dell'applicazione. Quando studierai la nozione di rango ti sarà più chiara questa cosa.
Proviamo a fare un esempio: dovrebbe essere abbastanza semplice da capire come funzionano le cose, ma abbastanza complicato da capire la differenza tra coordinate e vettori.
Prendiamo come spazi vettoriali $V= \RR ^3$ e $W=R^4$. Prendiamo le seguenti basi (per semplicità indico i vettori in riga e ci metto un trasposto, quindi sono tutti vettori colonna).
Per $\RR^3$:
$v_1=[1,2,3]^T, v_2 = [1,1,0]^T, v_3 = [1,1,1]^T$
Per $\RR^4$:
$w_1 = [1,1,0,0]^T, w_2=[1,2,0,0]^T , w_3 = [0,0,1,3]^T, w_3 = [0,0,0,1]^T$
La definizione dell'applicazione a priori potrebbe non avere nulla a che fare con questa base. Ad esempio, prendiamo l'applicazione $f$ che prende un generico vettore $[x,y,z]^T$ di $V$ e lo manda nel vettore $[x+y,z,z,2z]^T$.
A questo calcoliamo le immagini dei vettori della base, e la loro scrittura nella base di $W$ che abbiamo scelto:
$f(v_1) = [3,3,3,6]^T = 3w_1 + 0 w_2 + 3w_3 - 3 w_4$
$f(v_2)=[2,0,0,0]^T= 4w_1 - 2w_2 + 0 w_3 - 0w_4 $
$f(v_3)=[2,1,1,2]^T = 3w_1 -w_2 + w_3 - w_4 $.
Perciò le coordinate di $f(v_1),f(v_2),f(v_3)$ nella base che abbiamo scelto per $W$ sono
$(3,0,3,-3) , (3,-2,0,0) , (3,-1,1,-1)$.
Mettendo in colonna affiancati i vettori di queste coordinate (e qui si fa confusione con i nomi, perché si chiamano tutti vettori) otteniamo la matrice associata a queste due basi
$ M = ( ( 3 , 3 , 3 ),( 0 , -2 , -1 ),( 3 , 0 , 1 ),( -3 , 0 , -1 ) ) $
Prendiamo un vettore qualsiasi in partenza $v=[3,4,2]^T$ e calcoliamo $f(v)=[7,2,2,4]$. Ora calcoliamo le coordinate di $v$ nella base che abbiamo scelto: $v = v_1 + 3v_2 - v_3$, quindi le coordinate sono $(1,3,-1)$. Se moltiplichiamo $M$ per il vettorino colonna $(1,3,-1)$ dovrebbe venire il vettore delle coordinate di $f(v)$ nella base che abbiamo scelto in arrivo. TUTTAVIA ci deve essere un conto sbagliato da qualche parte perché non torna XD. Domani ricontrollo e cerco di trovare l'errore.
Proviamo a fare un esempio: dovrebbe essere abbastanza semplice da capire come funzionano le cose, ma abbastanza complicato da capire la differenza tra coordinate e vettori.
Prendiamo come spazi vettoriali $V= \RR ^3$ e $W=R^4$. Prendiamo le seguenti basi (per semplicità indico i vettori in riga e ci metto un trasposto, quindi sono tutti vettori colonna).
Per $\RR^3$:
$v_1=[1,2,3]^T, v_2 = [1,1,0]^T, v_3 = [1,1,1]^T$
Per $\RR^4$:
$w_1 = [1,1,0,0]^T, w_2=[1,2,0,0]^T , w_3 = [0,0,1,3]^T, w_3 = [0,0,0,1]^T$
La definizione dell'applicazione a priori potrebbe non avere nulla a che fare con questa base. Ad esempio, prendiamo l'applicazione $f$ che prende un generico vettore $[x,y,z]^T$ di $V$ e lo manda nel vettore $[x+y,z,z,2z]^T$.
A questo calcoliamo le immagini dei vettori della base, e la loro scrittura nella base di $W$ che abbiamo scelto:
$f(v_1) = [3,3,3,6]^T = 3w_1 + 0 w_2 + 3w_3 - 3 w_4$
$f(v_2)=[2,0,0,0]^T= 4w_1 - 2w_2 + 0 w_3 - 0w_4 $
$f(v_3)=[2,1,1,2]^T = 3w_1 -w_2 + w_3 - w_4 $.
Perciò le coordinate di $f(v_1),f(v_2),f(v_3)$ nella base che abbiamo scelto per $W$ sono
$(3,0,3,-3) , (3,-2,0,0) , (3,-1,1,-1)$.
Mettendo in colonna affiancati i vettori di queste coordinate (e qui si fa confusione con i nomi, perché si chiamano tutti vettori) otteniamo la matrice associata a queste due basi
$ M = ( ( 3 , 3 , 3 ),( 0 , -2 , -1 ),( 3 , 0 , 1 ),( -3 , 0 , -1 ) ) $
Prendiamo un vettore qualsiasi in partenza $v=[3,4,2]^T$ e calcoliamo $f(v)=[7,2,2,4]$. Ora calcoliamo le coordinate di $v$ nella base che abbiamo scelto: $v = v_1 + 3v_2 - v_3$, quindi le coordinate sono $(1,3,-1)$. Se moltiplichiamo $M$ per il vettorino colonna $(1,3,-1)$ dovrebbe venire il vettore delle coordinate di $f(v)$ nella base che abbiamo scelto in arrivo. TUTTAVIA ci deve essere un conto sbagliato da qualche parte perché non torna XD. Domani ricontrollo e cerco di trovare l'errore.