Equazioni di sfere

[21ire]

Ciao a tutti! avrei un problema di geometria che non riesco a risolvere... lo posto di seguito sperando in una vostra risposta
trova le equazioni delle sfere tangenti in $T(1,1,2)$ al piano $alpha: x+2y-2z+1=0$ e aventi centro sul piano $beta: x+y+z=10$
io ho pensato di farmi la distanza tra T e $beta$ per trovare il raggio, e poi trovare la retta perpendicolare al piano $alpha$ passante per T, intersecarla con il piano $beta$ e trovare le coordinate del centro... ma non torna Cosa non va?

Grazie anticipatamente per la pazienza

Irene

[Sk_Anonymous]

Il procedimento mi sembra corretto. Io trovo la sfera di equazione:
$(x-7)^2+(y-13)^2+(z+10)^2=18^2$

[apatriarca]

Non capisco a cosa ti dovrebbe servire la distanza tra T e \(\beta\). Il raggio della sfera non avrà necessariamente quella distanza. Sai che la sfera passa per il punto \(T(1,1,2)\) e che è ivi tangente al piano \(\alpha\). Se è tangente a quel piano, allora il raggio in \(T\) sarà allineato alla normale di \(\alpha\) e dovrai quindi calcolarti semplicemente l'intersezione tra il segmento passante per \(T\) e di direzione normale ad \(\alpha\) con il piano \(\beta\). Devi cioè risolvere la seguente equazione in \(t\):
\[ (1 + t) + (1 + 2\,t) + (2 - 2\,t) = 10. \]
Il centro sarà a questo punto l'intersezione e il raggio la distanza tra T e questa intersezione.
Il piano mi viene quindi
\[ (x - 7)^2 + (y - 13)^2 + (z + 10)^2 = 18^2 \]
come già calcolato da ciromario.