Equazioni cartesiane

Fai una domanda Tutte le categorie

6 apr 2007, 13:17

Ciao! ho appena iniziato a studiare geometria affine, e mi sento un po' un'idiota, ma non riesco a scrivere le equazioni cartesiane di due sottospazi affini generati da tre punti su $RR^3$ con struttura naturale di spazio affine: allora, i punti sono:
$ P(0, 0, 2), Q(0, 1, 2), Q'(-1, 0, 2), R(0, 2, 2)$

$ S=[P, Q, R]$
e $S'=[P, Q', R] $

sono i due sottospazi di cui bisogna determinare dimensione e equazioni sia parametriche che cartesiane:

1) $S=[P, Q, R]$
$S=P + $
$ =(0, 0, 2) + <(0, 1, 0), (0, 2, 0)>$
essendo i due vettori linearmente dipendenti, $dimS=1$
e posso anche scriverlo come
$S=(0,0,2)+
ok? posso farlo?

Equaz parametriche di S:
$x_(1)=0$
$x_2=lambda$
$x_3=2$

e adesso, l'equaz cartesiana?
non può essere $x_2=0$ !!!!!

Vi risparmio il seconso punto con S', perchè tanto, anche se ha dim=2, il mio problema resta quello..

Aspetto con ansia..
ciao ciao!

Risposte

cozzataddeo

6 apr 2007, 11:41

"celeste":
Ciao! ho appena iniziato a studiare geometria affine, e mi sento un po' un'idiota, ma non riesco a scrivere le equazioni cartesiane di due sottospazi affini generati da tre punti su $RR^3$ con struttura naturale di spazio affine: allora, i punti sono:
$ P(0, 0, 2), Q(0, 1, 2), Q'(-1, 0, 2), R(0, 2, 2)$

$ S=[P, Q, R]$
e $S'=[P, Q', R] $

sono i due sottospazi di cui bisogna determinare dimensione e equazioni sia parametriche che cartesiane:

1) $S=[P, Q, R]$
$S=P + $
$ =(0, 0, 2) + <(0, 1, 0), (0, 2, 0)>$
essendo i due vettori linearmente dipendenti, $dimS=1$
e posso anche scriverlo come
$S=(0,0,2)+
ok? posso farlo?

Certo, quello che hai scritto è corretto.

"celeste":

Equaz parametriche di S:
$x_(1)=0$
$x_2=lambda$
$x_3=2$

e adesso, l'equaz cartesiana?
non può essere $x_2=0$ !!!!!

$S$ è una retta nello spazio, perciò la sua rappresentazione cartesiana è data dal sistema di due piani che la individuano. Nel tuo caso
$\{(x_1=0),(x_3=2):}$

Ti torna?

celeste4

6 apr 2007, 12:13

eh...mi suona sensato..riusciresti a scrivere esattamente il ragionamento (utilizzabile in generale) che hai usato per scrivere le euaz cartesiane?

cozzataddeo

6 apr 2007, 13:16

Supponiamo che tu abbia le equazioni parametriche del piano $p$ nello spazio:

$p=(1,2,3)+<(1,0,2),(2,1,0)>$

ovvero

$\{(x_1=1+t+2u),(x_2=2+u),(x_3=3+2t):}$

dove $t$ e $u$ sono i parametri al cui variare si ottengono tutti i punti del piano. Dalla seconda e dalla terza equazione si ha

$u=x_2-2$ e $t=(x_3-3)/2$

che, sostituite nella prima danno proprio l'equazione cartesiana del piano

$x_1=1+(x_3-3)/2+2(x_2-2)$

e con qualche conticino si sistema un po' meglio.

Se invece hai l'equazione parametrica di una retta nello spazio, ad esempio

$r=(1,2,3)+<(4,5,6)>$

ovvero

$\{(x_1=1+4t),(x_2=2+5t),(x_3=3+6t):}$

puoi ricavarti $t$ da un'equazione qualsiasi, ad esempio la prima

$t=(x_1-1)/4$

e poi sostituirlo nelle altre 2. In questo modo ottieni un sistema di due piani che individuano la retta $r$

$\{(x_2=2+5(x_1-1)/4),(x_3=3+6(x_1-1)/4):}$

(anche in questo caso con qualche conto le due equazioni si semplificano un po').
È chiaro che se ti ricavi $t$ da un'altra equazione (la seconda o la terza) e poi sostituisci nelle due rimanenti, la coppia di equazioni non sarà la stessa, ma la retta individuata sí perché una retta nello spazio è individuata dall'intersezione di infinite coppie di piani.

Nel caso del tuo esercizio in cui hai le equazioni parametriche

$\{(x_(1)=0),(x_2=t),(x_3=2):}

la prima e la terza equazione non dipendono dal parametro $t$ perciò il procedimento di sostituzione non è necessario (caso molto fortunato!

) e si possono prendere direttamente la prima e la terza equazione come equazioni dei piani che individuano la retta.

È un po' piú chiara la questione, ora?