Equazione vettoriale di una retta
Ciao a tutti!! Ho il mio libro che mi chiede come esercizio di dimostrare analiticamente (sfruttando le operazioni di somma tra vettori e prodotto per uno scalare) che l'equazione vettoriale di una retta è $\vec(OP)=\vec(OP_0) + t\vec(OQ)$
Praticamente da quello che ho capito devo dimostrare che se $P_0$ è un punto della retta, $\vec(OP) -\vec(OP_0) = t\vec(OQ)$ ovvero il vettore $\vec(OP)-\vec(OP_0)$ è multiplo di $\vec(OQ)$
Geometricamente sono capace di farlo, basta notare che (essendo rette parallele) la loro distanza è sempre la stessa, quindi il poligono formato da $P_0,P,O$ e dalla proiezione ($H$) di P sulla retta su cui giace $\vec(OQ)$ è un parallelepipedo, quindi $\vec(OP) -\vec(OP_0)$ (che rappresenta il segmento che congiunge $P_0$ e $P$) è necessariamente uguale al segmento $OH$, il quale, stando sulla retta di $\vec(OQ)$ +è appunto multiplo di $\vec(OQ)$
Il problema è che vorrei sapere se ci fosse una dimostrazione più... algebrica
Grazie a tutti!!
Praticamente da quello che ho capito devo dimostrare che se $P_0$ è un punto della retta, $\vec(OP) -\vec(OP_0) = t\vec(OQ)$ ovvero il vettore $\vec(OP)-\vec(OP_0)$ è multiplo di $\vec(OQ)$
Geometricamente sono capace di farlo, basta notare che (essendo rette parallele) la loro distanza è sempre la stessa, quindi il poligono formato da $P_0,P,O$ e dalla proiezione ($H$) di P sulla retta su cui giace $\vec(OQ)$ è un parallelepipedo, quindi $\vec(OP) -\vec(OP_0)$ (che rappresenta il segmento che congiunge $P_0$ e $P$) è necessariamente uguale al segmento $OH$, il quale, stando sulla retta di $\vec(OQ)$ +è appunto multiplo di $\vec(OQ)$
Il problema è che vorrei sapere se ci fosse una dimostrazione più... algebrica
Grazie a tutti!!
Risposte
Aspetta aspetta. Non partire in quarta parlando di distanza: da come scrivi suppongo che tu stia parlando in un contesto di spazio affine, vero?
esattamente... ma che problema crea la distanza?? anche se mi rendo conto che il mio ragionamento è forse troppo "geometrico"
Non è questione di ragionamento geometrico, anzi io preferisco sforzarmi di ragionare sempre nella maniera più geometrica possibile (qualunque cosa questo significhi). E' una incongruenza parlare di distanza in geometria affine: anzi è proprio questo il discrimine tra geometria affine e geometria euclidea.
ah ti chiedo scusa x la mia ignoranza 
quindi a quanto capisco la mia dimostrazione non è esatta
Ma c'è 1 modo di arrivarci algebricamente?? Non voglio sapere pari pari come fare, mi basta anche uno spunto su come partire
quindi a quanto capisco la mia dimostrazione non è esatta Ma c'è 1 modo di arrivarci algebricamente?? Non voglio sapere pari pari come fare, mi basta anche uno spunto su come partire
(scusa il ritardo)
Abbi pazienza, non riesco a capire: cosa è $Q$? Presumo sia un punto dello spazio tale che $vec(OQ)$ è un vettore di direzione della retta, giusto? Se fosse così, ti ricordo la relazione di Chasles $vec(AB)=vec(AC)+vec(CB)$. Applicala ai vettori $vec(OP), vec(OP_0)$, e troverai che quella equazione vettoriale diventa $vec(P_0P)=...$ eccetera.
___________________________________
P.S.: Se non ricordo male, si può definire la geometria affine (in modo informale) come lo studio delle proprietà affini delle figure, ovvero delle proprietà che restano invariate sotto l'azione delle affinità. Le affinità sono (sempre in modo informale) le applicazioni che trasformano rette in rette conservando il parallelismo (se due rette sono parallele, continueranno ad esserlo dopo essere state trasformate).
La geometria affine ha molto in comune con quella euclidea, per intenderci quella che si studia per via elementare anche a scuola: la geometria euclidea è lo studio delle proprietà delle figure invarianti rispetto alle isometrie o movimenti rigidi (il concetto di figure congruenti viene da qui).
La relazione tra le due geometrie sta proprio nel concetto di distanza. Ad esempio, tu sai sicuramente che due triangoli non sono sempre congruenti (a scuola si usa dire anche uguali, ma è improprio). Anzi, i criteri di congruenza dei triangoli si studiano a scuola con molto impegno. Invece, dal punto di vista affine, due triangoli sono sempre affinemente equivalenti (c'è una affinità che trasforma uno nell'altro). Quindi in geometria affine due triangoli sono sempre uguali, in geometria euclidea no.
Questa rapida carrellata l'ho scritta per tentare di spiegarmi: è questo il motivo per cui ho messo l'accento sulla questione delle distanze. E' centrale nello studio della geometria affine.
Abbi pazienza, non riesco a capire: cosa è $Q$? Presumo sia un punto dello spazio tale che $vec(OQ)$ è un vettore di direzione della retta, giusto? Se fosse così, ti ricordo la relazione di Chasles $vec(AB)=vec(AC)+vec(CB)$. Applicala ai vettori $vec(OP), vec(OP_0)$, e troverai che quella equazione vettoriale diventa $vec(P_0P)=...$ eccetera.
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P.S.: Se non ricordo male, si può definire la geometria affine (in modo informale) come lo studio delle proprietà affini delle figure, ovvero delle proprietà che restano invariate sotto l'azione delle affinità. Le affinità sono (sempre in modo informale) le applicazioni che trasformano rette in rette conservando il parallelismo (se due rette sono parallele, continueranno ad esserlo dopo essere state trasformate).
La geometria affine ha molto in comune con quella euclidea, per intenderci quella che si studia per via elementare anche a scuola: la geometria euclidea è lo studio delle proprietà delle figure invarianti rispetto alle isometrie o movimenti rigidi (il concetto di figure congruenti viene da qui).
La relazione tra le due geometrie sta proprio nel concetto di distanza. Ad esempio, tu sai sicuramente che due triangoli non sono sempre congruenti (a scuola si usa dire anche uguali, ma è improprio). Anzi, i criteri di congruenza dei triangoli si studiano a scuola con molto impegno. Invece, dal punto di vista affine, due triangoli sono sempre affinemente equivalenti (c'è una affinità che trasforma uno nell'altro). Quindi in geometria affine due triangoli sono sempre uguali, in geometria euclidea no.
Questa rapida carrellata l'ho scritta per tentare di spiegarmi: è questo il motivo per cui ho messo l'accento sulla questione delle distanze. E' centrale nello studio della geometria affine.
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