Equazione sfera
ciao a tutti!!ho un piccolo problemi con un esercizio di cui riporto la traccia:
Trovare equazioni cartesiane per le sfere, se esistono, aventi centro appartenente alla retta $r\{(x=-1+2t),(y=1+t),(z=1+5t):}$ e tangenti sia a $\pi_1:x+3y-z+2=0$ sia a $\pi_2:x-4y-z+7=0$
Per prima cosa (non so se può essere utile ai fini dell'esercizio) ho constatato che il prodotto scalare tra la giacitura di $r$ e quella del piano $\pi_1$ è nullo per cui retta e piano sono perpendicolari. Ora, se i centri devono appartenere alla retta vuol dire che le coordinate saranno le stesse della retta e si differenzieranno tra loro per determinati valori di t. solo che non riesco a trovare tali valori...
Trovare equazioni cartesiane per le sfere, se esistono, aventi centro appartenente alla retta $r\{(x=-1+2t),(y=1+t),(z=1+5t):}$ e tangenti sia a $\pi_1:x+3y-z+2=0$ sia a $\pi_2:x-4y-z+7=0$
Per prima cosa (non so se può essere utile ai fini dell'esercizio) ho constatato che il prodotto scalare tra la giacitura di $r$ e quella del piano $\pi_1$ è nullo per cui retta e piano sono perpendicolari. Ora, se i centri devono appartenere alla retta vuol dire che le coordinate saranno le stesse della retta e si differenzieranno tra loro per determinati valori di t. solo che non riesco a trovare tali valori...
Risposte
Basta trovare i punti di r che equidistano dai due piani,Se questi punti esistono allora essi sono i centri delle sfere richieste, i cui raggi sono poi la distanza di ciascuno di essi da uno qualunque dei due piani.Avendo centro e raggio è facile trovare poi le equazioni delle sfere.
giusto, ma se calcolo per esempio la distanza dei punti di r dal piano $\pi_1$ il valore t scompare quindi non posso inserire nessun valore di t all'interno delle coordinate "generiche" e quindi non trovo il centro. o sbaglio?
Questo succede perché la retta r è parallela al piano $pi_1$ e quindi i suoi punti hanno distanza costante da questo piano
(che è poi proprio il raggio delle sfere).Devi calcolare anche la distanza del generico punto di r dall'altro piano e poi eguagliarla a quella precedente.Troverai due valori di t e poi prosegui.Sfortunatamente i calcoli sono con i radicali...
(che è poi proprio il raggio delle sfere).Devi calcolare anche la distanza del generico punto di r dall'altro piano e poi eguagliarla a quella precedente.Troverai due valori di t e poi prosegui.Sfortunatamente i calcoli sono con i radicali...
ma se il prodotto scalare tra la giacitura di r e la giacitura di $\pi_1$ è nullo non vuol dire che r e $\pi_1$ sono perpendicolari?
No .Significa che r è perpendicolare ( ortogonale,per l'esattezza) alla normale al piano e dunque che è parallela al piano medesimo.La giacitura di un piano rappresenta la direzione della normale ad esso !
grazie silvano!!mi sei stato di immenso aiuto!!buona serata
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