Equazione retta tangente
Ciao a tutti, chi mi può dare una dimostrazione dell'equazione Fx(x-x0)+Fy(y-y0)=0 della retta tangente nel punto (x0,y0) ad una curva rappresentata dall'equazuione implicita F(x,y)=0 ??
Grazie a tutti
Grazie a tutti
Risposte
Ci provo.
1) Innanzitutto quello che dici è vero se $gradF(x_0,y_0)!=0$.
Sotto questa ipotesi in un intorno di (x_0,y_0) il livello 0 di F vale a dire {F(x,y)=0} è grafico di una funzione y=f(x) o x=g(y) (o entrambe) di classe $C^1$ (Teorema del Dini)
Inoltre nel primo caso (il secondo è analogo) hai:
$f'(x)=-(F_x(x,f(x)))/(F_y(x,f(x)))$ sempre nell'intorno di cui sopra.
In tal caso l'equazione della retta tangente al grafico in quel punto è $y=y_0+f'(x_0)(x-x_0)$ e se sostituisci il valore di f' di prima ottieni quello che cerchi.
2) In altro modo puoi dire che se il gradiente di F non è nullo esso è ortogonale alle curve di livello di F e quindi la tangente è proprio quella lì.
Chiaro?
1) Innanzitutto quello che dici è vero se $gradF(x_0,y_0)!=0$.
Sotto questa ipotesi in un intorno di (x_0,y_0) il livello 0 di F vale a dire {F(x,y)=0} è grafico di una funzione y=f(x) o x=g(y) (o entrambe) di classe $C^1$ (Teorema del Dini)
Inoltre nel primo caso (il secondo è analogo) hai:
$f'(x)=-(F_x(x,f(x)))/(F_y(x,f(x)))$ sempre nell'intorno di cui sopra.
In tal caso l'equazione della retta tangente al grafico in quel punto è $y=y_0+f'(x_0)(x-x_0)$ e se sostituisci il valore di f' di prima ottieni quello che cerchi.
2) In altro modo puoi dire che se il gradiente di F non è nullo esso è ortogonale alle curve di livello di F e quindi la tangente è proprio quella lì.
Chiaro?
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