Equazione retta passante per punto e parallela a due piani

[Ale461]

Determinare la retta passante per $C = (0,0,3)$ e parallela ai piani $\alpha$: $x+2y+3z+4=0$, $\beta$: $x+y+kz=0$. Se la retta equidista dagli assi $x$ e $y$ quanto vale $k$ ?

Per trovare l'equazione della retta ho pensato (probabilmente male) di poterla ottenere sviluppando il determinante della seguente matrice:
$((x,y,z-3),(1,2,3),(1,1,k))$
il cui risultato dovrebbe essere uguale a $kx+3y-z+12$.
Aspettando conferme sull'esattezza del mio ragionamento resto in attesa anche per dei consigli su come risolvere il secondo quesito..

[franced]

"Ale46":Determinare la retta passante per $C = (0,0,3)$ e parallela ai piani $\alpha$: $x+2y+3z+4=0$, $\beta$: $x+y+kz=0$

Per prima cosa cerchiamo l'intersezione dei due piani:

${(x+2y+3z+4=0),(x+y+kz=0):}$

da cui ricaviamo

$((x),(y),(z)) = ((4),(-4),(0)) + t ((3-2k),(k-3),(1))$

quindi il vettore direttore della retta intersezione è $((3-2k),(k-3),(1))$;
sfruttando questo risultato la retta richiesta è la seguente:

$((x),(y),(z)) = ((0),(0),(3)) + t ((3-2k),(k-3),(1))$ .