Equazione retta

[frab1]

Devo trovare le eq.cartesiane di una retta perpendicolare al piano $pi=x+2y-z$ e passante per $Q=((1),(1),(-1))$ ho agito così:

Il vettore direttore della mia retta e' $n=((1),(2),(-1))$ quindi le coordinate di parametriche sono:
${(x=1+t),(y=1+2t),(z=-1-t) :}$ da cui ottengo le eq cartesiane ${(2x-y-1=0),(x+z=0) :}$

Mentre mi viene detto che il risultato e':
${(x-y-z-1=x+z=0):}$

Dove sbaglio!??no riesco a rendermene conto!:(

[Alxxx28]

Mostraci i passaggi che hai fatto per ottenere quelle due equazioni cartesiane

[frab1]

Ok a partire dalla scrittura parametrica riportata sopra,ho che:
${(t=x-1),(y=1+2x-2),(z=-1-x+1):} $
${(2x-y-1=0),(x+z=0):}$

Ma l'idea di base era corretta?

[Alxxx28]

I passaggi fino alle equazioni parametriche sono corretti.
Per passare alle equazioni cartesiane dovresti ragionare sul fatto che
[tex](x-1,y-1,z+1)=t(1,2,-1)[/tex]
ovvero i vettori [tex]\vec QP[/tex] ed [tex]\vec n[/tex] sono paralleli ( [tex]P=(x,y,z)[/tex]).
Ti viene in mente qualcosa?

[frab1]

No..

[Alxxx28]

Cerca di riflettere su come si può applicare il concetto di determinante,
ovvero in che modo si può utilizzare

[byob12]

"frab":Dove sbaglio!??no riesco a rendermene conto!:(

non te ne rendi conto perche in realta hai fatto giusto!

mi spiego meglio: entrambe le soluzioni sono corrette in quanto entrambe rappresentano la stessa retta!
infatti entrambe hanno gli stessi parametri direttori e entrambe passano per $Q$; quindi sono la stessa retta.

la cosa non deve sorprendere in quanto quando esprimi una retta come intersezione tra 2 piani, questi 2 piani non sono univocamente determinati, ma esistono infinite coppie di piani che intersecandosi individuano la stessa retta.