Equazione piano retta con distanza da un punto
Fissato nello spazio un riferimento cartesiano ortonormale (positivio) R(O,x,y,z), siano assegnati i punti A(2,2,3) , B(1, -1, -1), C(0,1,0) e la retta r: $ {2x−z+1=0;y−z−4=0} $ :
Scrivere le equazioni dei piani contenenti la retta r e aventi distanza $ 2*2^(1/2) $ da B.
Per trovare l'equazione del piano che contiene la retta e un punto scrivo la retta in equazione parametrica, calcolo i parametri direttori della retta, calcolo la direzione in un punto generico della retta r e trovo la direzione del vettore che congiuge i punti. Calcolo il prodotto vettoriale tra le direzioni citate precedentemente e scrivo l'equazione del piano ax+by+cz+d=0. Come ultimo step impongo il passaggio per il punto che sto cercando. Il ragionamento è corretto?Tutto ciò dovrò farlo per i punti A, B e C, giusto? Come faccio poi a fare l'ultima richiesta, ciò la distanza dal punto B?
Scrivere le equazioni dei piani contenenti la retta r e aventi distanza $ 2*2^(1/2) $ da B.
Per trovare l'equazione del piano che contiene la retta e un punto scrivo la retta in equazione parametrica, calcolo i parametri direttori della retta, calcolo la direzione in un punto generico della retta r e trovo la direzione del vettore che congiuge i punti. Calcolo il prodotto vettoriale tra le direzioni citate precedentemente e scrivo l'equazione del piano ax+by+cz+d=0. Come ultimo step impongo il passaggio per il punto che sto cercando. Il ragionamento è corretto?Tutto ciò dovrò farlo per i punti A, B e C, giusto? Come faccio poi a fare l'ultima richiesta, ciò la distanza dal punto B?
Risposte
E' sufficiente trovare l'equazione del fascio di piani avente per asse la retta data e poi imporre che la distanza di B
dal piano generico del fascio sia uguale al valore dato.
L'equazione del fascio é_
(A) $\lambda(2x-z+1)+\mu(y-z-4)=0$
Ovvero:
$2\lambdax+\muy+(-\lambda-\mu)z+(\lambda-4\mu)=0$
Per note formule la distanza d richiesta è :
$d=\frac{|2\lambda-\mu+\lambda+\mu+\lambda-4\mu|}{\sqrt{4\lambda^2+\mu^2+(\lambda+\mu)^2}}=\frac{|4\lambda-4\mu|}{\sqrt{5lambda^2+2\lambda\mu+2\mu^2}}$
Ponendo tale distanza uguale a $2\sqrt2$ si ha un'equazione che restituisce due valori di $\lambda$ in funzione di $\mu$
[lascio a te i dettagli]:
$\lambda_1=2,\mu_1=-1$
$\lambda_2=0,\mu_2=$qualunque valore non nullo
Sostituisci questi coppie di valori nella (A) ed ottieni le equazioni dei due piani che risolvono il quesito.
P.S. Ma i punti A e C che hai indicato nella consegna a che servono ?
dal piano generico del fascio sia uguale al valore dato.
L'equazione del fascio é_
(A) $\lambda(2x-z+1)+\mu(y-z-4)=0$
Ovvero:
$2\lambdax+\muy+(-\lambda-\mu)z+(\lambda-4\mu)=0$
Per note formule la distanza d richiesta è :
$d=\frac{|2\lambda-\mu+\lambda+\mu+\lambda-4\mu|}{\sqrt{4\lambda^2+\mu^2+(\lambda+\mu)^2}}=\frac{|4\lambda-4\mu|}{\sqrt{5lambda^2+2\lambda\mu+2\mu^2}}$
Ponendo tale distanza uguale a $2\sqrt2$ si ha un'equazione che restituisce due valori di $\lambda$ in funzione di $\mu$
[lascio a te i dettagli]:
$\lambda_1=2,\mu_1=-1$
$\lambda_2=0,\mu_2=$qualunque valore non nullo
Sostituisci questi coppie di valori nella (A) ed ottieni le equazioni dei due piani che risolvono il quesito.
P.S. Ma i punti A e C che hai indicato nella consegna a che servono ?
Ti ringrazio per la risposta. Non mi trovo, però, con i segni della distanza.
La formula della distanza di una retta da un punto, nello spazio, non è:
$ T $ $ d (P;π) = |ax+by+cz+d|/(a^2+b^2+c^2)^(1/2) $
Vedo, nei tuoi calcoli, alcuni "meno" che differiscono da tale formula.
Grazie
La formula della distanza di una retta da un punto, nello spazio, non è:
$ T $ $ d (P;π) = |ax+by+cz+d|/(a^2+b^2+c^2)^(1/2) $
Vedo, nei tuoi calcoli, alcuni "meno" che differiscono da tale formula.
Grazie
@steing
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