Equazione ellisse dati fuochi ed un punto di appertenenza
Devo scrivere un'equazione per l'ellisse avente fuochi in \(\displaystyle A(0,1) \) e \(\displaystyle B(2,3) \) e passante per il punto \(\displaystyle C(0,3) \).
Di seguito descrivo come ho proceduto per cercare di trovare l'equazione canonica \(\displaystyle \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \).
Sapendo che un'ellisse è descritta da \(\displaystyle \overline{PF} + \overline{PF'} = 2a\) (con \(\displaystyle a \) semiasse maggiore), trovo \(\displaystyle \overline{CA} + \overline{CB} = 2\sqrt{10}\) da cui deduco che \(\displaystyle a = \sqrt{10}\).
Trovo la distanza focale \(\displaystyle 2c = \overline{AB} = 2\sqrt{2}\)
Dopo, calcolo \(\displaystyle b^2 = a^2-c^2 = 8 \)
Quindi scrivo l'ellisse come \(\displaystyle \frac{x^2}{10} + \frac{y^2}{8} = 1 \).
Questo risultato però mi sembra sbagliato, in quanto non torna con quello trovato dal libro che ha proceduto come segue, partendo sempre dalla descrizione tramite distanza dai fuochi.
Il generico punto \(\displaystyle P \) deve rispettare l'equazione \(\displaystyle \sqrt{x^2 + (y-1)^2} + \sqrt{(x-2)^2 + (y-3)^2} = 2\sqrt {10} \).
Da cui ottiene, quadrando e semplificando, l'equazione \(\displaystyle 9x^2-2xy+9y^2-14x-34y-39 = 0 \).
Ho provato a ridurre in forma canonica quest'ultima equazione, e l'equazione che salta fuori non coincide con quella trovata col primo procedimento, difatti ottengo: \(\displaystyle \frac{4x^2}{49} + \frac{5y^2}{49} = 1\).
Non capisco dov'è l'errore nel primo procedimento (il secondo l'ho derivato dal risultato del libro e sono più sicuro della sua correttezza).
Sono anche sicuro di aver trovato correttamente \(\displaystyle a = \sqrt{10}\) ma poi non mi ritrovo questo coeffiente nella seconda equazione canonica che ho scritto.
Grazie in anticipo a chi risponderà.
Di seguito descrivo come ho proceduto per cercare di trovare l'equazione canonica \(\displaystyle \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \).
Sapendo che un'ellisse è descritta da \(\displaystyle \overline{PF} + \overline{PF'} = 2a\) (con \(\displaystyle a \) semiasse maggiore), trovo \(\displaystyle \overline{CA} + \overline{CB} = 2\sqrt{10}\) da cui deduco che \(\displaystyle a = \sqrt{10}\).
Trovo la distanza focale \(\displaystyle 2c = \overline{AB} = 2\sqrt{2}\)
Dopo, calcolo \(\displaystyle b^2 = a^2-c^2 = 8 \)
Quindi scrivo l'ellisse come \(\displaystyle \frac{x^2}{10} + \frac{y^2}{8} = 1 \).
Questo risultato però mi sembra sbagliato, in quanto non torna con quello trovato dal libro che ha proceduto come segue, partendo sempre dalla descrizione tramite distanza dai fuochi.
Il generico punto \(\displaystyle P \) deve rispettare l'equazione \(\displaystyle \sqrt{x^2 + (y-1)^2} + \sqrt{(x-2)^2 + (y-3)^2} = 2\sqrt {10} \).
Da cui ottiene, quadrando e semplificando, l'equazione \(\displaystyle 9x^2-2xy+9y^2-14x-34y-39 = 0 \).
Ho provato a ridurre in forma canonica quest'ultima equazione, e l'equazione che salta fuori non coincide con quella trovata col primo procedimento, difatti ottengo: \(\displaystyle \frac{4x^2}{49} + \frac{5y^2}{49} = 1\).
Non capisco dov'è l'errore nel primo procedimento (il secondo l'ho derivato dal risultato del libro e sono più sicuro della sua correttezza).
Sono anche sicuro di aver trovato correttamente \(\displaystyle a = \sqrt{10}\) ma poi non mi ritrovo questo coeffiente nella seconda equazione canonica che ho scritto.
Grazie in anticipo a chi risponderà.
Risposte
Il centro dell'ellisse è in \((1, 2)\) e gli assi dell'ellissi formano angoli di 45° con gli assi cartesiani. È invece abbastanza semplice osservare che l'equazione canonica a cui fai riferimento ha centro nell'origine e gli assi dell'ellisse sono paralleli agli assi cartesiani. Rimane infatti invariata per simmetrie degli assi cartesiani.
L'equazione finale NON ha insomma quella forma e quindi entrambe le "soluzioni" sono sbagliate. Tra le due soluzioni la seconda è tuttavia quella più vicina a quella corretta, hai infatti semplicemente sbagliato a cercare di portare la soluzione nella formula canonica. Dovevi fermarti prima.
EDIT: Indipendentemente dal fatto che il procedimento non è corretto, è sempre una buona idea verificare i risultati. Hai un punto della tua ellisse per cui un modo per verificare che la soluzione è corretta avrebbe potuto essere vedere se quel punto rispetta l'equazione che hai trovato..
L'equazione finale NON ha insomma quella forma e quindi entrambe le "soluzioni" sono sbagliate. Tra le due soluzioni la seconda è tuttavia quella più vicina a quella corretta, hai infatti semplicemente sbagliato a cercare di portare la soluzione nella formula canonica. Dovevi fermarti prima.
EDIT: Indipendentemente dal fatto che il procedimento non è corretto, è sempre una buona idea verificare i risultati. Hai un punto della tua ellisse per cui un modo per verificare che la soluzione è corretta avrebbe potuto essere vedere se quel punto rispetta l'equazione che hai trovato..
Non mi torna comunque il tuo calcolo del semiasse. Hai che \(\overline{CA} = \overline{CB} = 2\) siccome il punto \(C\) è a due unità "più in alto" di \(A\) e due unità "più a destra" di \(B\). Questo ci dice inoltre che il punto \(C\) è in effetti uno dei due punti di incontro tra il secondo asse e l'ellisse (sono gli unici punti ad uguale distanza dai fuochi). Abbiamo quindi che il nostro ellisse ha centro \((1, 2)\), è ruotato di 45° e ha semiassi di lunghezza \(2\) e \( \sqrt{2} \).
Prendiamo quindi l'equazione canonica con gli stessi semiassi:
\[ \frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{2} = 1. \]
L'ellisse deve però essere ruotato di 45° e per farlo dobbiamo quindi applicare la rotazione inversa alle coordinate dei punti. Applichiamo quindi
\[ (x, y) \to \frac{\sqrt{2}}{2} (x + y, y - x) \]
all'equazione precedente ottenendo:
\[ \frac{\Big( x + y \Big)^2}{8} + \frac{\Big( y - x \Big)^2}{4} = 1. \]
Non resta che centrare l'ellisse in \((1, 2)\) applicando la trasformazione \( (x, y) \to (x - 1, y - 2) \) all'equazione ottenendo:
\[ \frac{\Big( x + y - 3 \Big)^2}{8} + \frac{\Big( y - x - 1 \Big)^2}{4} = 1. \]
Provando ad applicare l'equazione al nostro punto (e ad altri che possiamo facilmente dedurre) vediamo che effettivamente l'equazione sembra corretta. Possiamo andare avanti con i calcoli ottenendo:
\[ 3\,x^2 + 3\,y^2 - 2\,x\,y - 2\,x - 10\,y = -3. \]
Questo procedimento era più che altro per mostrare un approccio diverso alla soluzione del tuo problema. Dovrebbe essere possibile arrivare alla stessa soluzione semplicemente partendo da
\[ \sqrt{x^2 + (y - 1)^2} + \sqrt{(x - 2)^2 + (y - 3)^2} = 4 \]
e svolgendo i calcoli.
Prendiamo quindi l'equazione canonica con gli stessi semiassi:
\[ \frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{2} = 1. \]
L'ellisse deve però essere ruotato di 45° e per farlo dobbiamo quindi applicare la rotazione inversa alle coordinate dei punti. Applichiamo quindi
\[ (x, y) \to \frac{\sqrt{2}}{2} (x + y, y - x) \]
all'equazione precedente ottenendo:
\[ \frac{\Big( x + y \Big)^2}{8} + \frac{\Big( y - x \Big)^2}{4} = 1. \]
Non resta che centrare l'ellisse in \((1, 2)\) applicando la trasformazione \( (x, y) \to (x - 1, y - 2) \) all'equazione ottenendo:
\[ \frac{\Big( x + y - 3 \Big)^2}{8} + \frac{\Big( y - x - 1 \Big)^2}{4} = 1. \]
Provando ad applicare l'equazione al nostro punto (e ad altri che possiamo facilmente dedurre) vediamo che effettivamente l'equazione sembra corretta. Possiamo andare avanti con i calcoli ottenendo:
\[ 3\,x^2 + 3\,y^2 - 2\,x\,y - 2\,x - 10\,y = -3. \]
Questo procedimento era più che altro per mostrare un approccio diverso alla soluzione del tuo problema. Dovrebbe essere possibile arrivare alla stessa soluzione semplicemente partendo da
\[ \sqrt{x^2 + (y - 1)^2} + \sqrt{(x - 2)^2 + (y - 3)^2} = 4 \]
e svolgendo i calcoli.
Grazie per le risposte, leggendole e rileggendo il testo dell'esercizio ho capito di averlo frainteso.
Inoltre ricontrollando ciò che avevo fatto (dopo una pausa) mi sono accorto di aver commesso un banale errore algebrico, di calcolo.
In effetti l'esercizio intende che bisogna trovare un'equazione per quell'ellisse che passi per quel punto e abbia quei fuochi specificati, io invece sono andato a trovarne l'equazione canonica (che poi ho verificato essere giusta).
Anche se non aderente con la richiesta dell'esercizio, volevo specificare riguardo la ricerca dell'equazione canonica a partire da \(\displaystyle 9x^2-2xy+9y^2-14x-34y-39 = 0 \). Avevo appunto commesso (ripetutamente) un errore di distrazione; però effettuando correttamente, prima una rotazione degli assi di matrice \(\displaystyle {\frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 & -1\\ 1 & 1 \end{pmatrix}} \) e successivamente una traslazione (sempre degli assi) di vettore \(\displaystyle (\frac{3}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}) \) riottengo l'equazione canonica \(\displaystyle \frac{x^2}{10} + \frac{y^2}{8} = 1 \).
Questo giusto per chiarire per chi leggerà.
Inoltre ricontrollando ciò che avevo fatto (dopo una pausa) mi sono accorto di aver commesso un banale errore algebrico, di calcolo.
In effetti l'esercizio intende che bisogna trovare un'equazione per quell'ellisse che passi per quel punto e abbia quei fuochi specificati, io invece sono andato a trovarne l'equazione canonica (che poi ho verificato essere giusta).
Anche se non aderente con la richiesta dell'esercizio, volevo specificare riguardo la ricerca dell'equazione canonica a partire da \(\displaystyle 9x^2-2xy+9y^2-14x-34y-39 = 0 \). Avevo appunto commesso (ripetutamente) un errore di distrazione; però effettuando correttamente, prima una rotazione degli assi di matrice \(\displaystyle {\frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 & -1\\ 1 & 1 \end{pmatrix}} \) e successivamente una traslazione (sempre degli assi) di vettore \(\displaystyle (\frac{3}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}) \) riottengo l'equazione canonica \(\displaystyle \frac{x^2}{10} + \frac{y^2}{8} = 1 \).
Questo giusto per chiarire per chi leggerà.
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