Equazione ellisse conoscendo 2 vertici e tangente
Ciao, non riesco a capire come risolvere il seguente esercizio:
Scrivere l'equazione dell'ellisse avente tra i vertici i punti A(0,-2) e D(-1,2) e come tangente nel punto A la retta r: x+y+2=0
Ho pensato che conoscendo questa retta e i due vertici posso ricavare le equazioni degli assi di simmetria dell'ellisse, ma anche con queste informazioni non saprei come ricavare l'equazione.. ho anche pensato di provare a risolvere il problema utilizzando i fasci di coniche (in questo caso un fascio bitangente) ma non sono sicura di come continuare..
grazie mille in anticipo.
Scrivere l'equazione dell'ellisse avente tra i vertici i punti A(0,-2) e D(-1,2) e come tangente nel punto A la retta r: x+y+2=0
Ho pensato che conoscendo questa retta e i due vertici posso ricavare le equazioni degli assi di simmetria dell'ellisse, ma anche con queste informazioni non saprei come ricavare l'equazione.. ho anche pensato di provare a risolvere il problema utilizzando i fasci di coniche (in questo caso un fascio bitangente) ma non sono sicura di come continuare..
grazie mille in anticipo.
Risposte
Grazie per la dritta!
Quindi.. conosco due vertici, conosco la tangente all'ellisse in uno di essi. Attraverso la tangente e il punto A trovo l'eq. della retta (r) che "contiene" uno dei semiassi, questa deve essere perpendicolare alla retta (s) che contiene l'altro semiasse e deve passare per il punto D (che so non essere il vertice che sta sulla stessa retta del primo perchè avendolo messo nell'equazione della retta r non soddisfa l'equazione), quindi posso trovare anche l'eq. di s. A questo punto r ed s si incontrano in un punto, che è il centro dell'ellisse. Trovo le sue coordinate e conoscendo sia A che D, determino la lunghezza dei semiassi a e b. Conoscendo C, grazie al fatto che esso è il punto medio dei due fuochi trovo la misura del segmento F1F2, e quindi rispettivamente le coordinate di F1 ed F2.. fatto questo dovrei avere tutto visto che l'equazione è PF1+PF2=V1V2.
Scusami per questo messaggio lunghissimo! grazie tantissimo per la risposta
Quindi.. conosco due vertici, conosco la tangente all'ellisse in uno di essi. Attraverso la tangente e il punto A trovo l'eq. della retta (r) che "contiene" uno dei semiassi, questa deve essere perpendicolare alla retta (s) che contiene l'altro semiasse e deve passare per il punto D (che so non essere il vertice che sta sulla stessa retta del primo perchè avendolo messo nell'equazione della retta r non soddisfa l'equazione), quindi posso trovare anche l'eq. di s. A questo punto r ed s si incontrano in un punto, che è il centro dell'ellisse. Trovo le sue coordinate e conoscendo sia A che D, determino la lunghezza dei semiassi a e b. Conoscendo C, grazie al fatto che esso è il punto medio dei due fuochi trovo la misura del segmento F1F2, e quindi rispettivamente le coordinate di F1 ed F2.. fatto questo dovrei avere tutto visto che l'equazione è PF1+PF2=V1V2.
Scusami per questo messaggio lunghissimo! grazie tantissimo per la risposta
Visto che è anche il gruppo di algebra lineare, posto pure questa soluzione 
Trovato il centro $(3/2,-1/2)$ e le distanze dai due vertici $a=5/sqrt(2)$ e $b=3/sqrt(2)$ scrivo l'equazione dell'ellisse canonica:
$(x^2/a^2)+(y^2/b^2)=1 rArr 18x^2+50y^2-225=0$
Ruoto i suoi punti di 45° gradi in senso orario.
$ 1/sqrt(2)( ( 1 , -1 ),( 1 , 1 ) )( ( x ),( y ) ) = ( ( (x-y)/sqrt(2) ),( (x+y)/sqrt(2) )) $
E cambio di base l'equazione nella nuova base espressa rispetto a quella canonica.
$((x-y)/sqrt(2),(x+y)/sqrt(2), 1 )( ( 18 , 0 , 0 ),( 0 , 50 , 0 ),( 0 , 0 , -225 ) ) ( ( (x-y)/sqrt(2) ),( (x+y)/sqrt(2) ), (1) )=34x^2+34y^2+32xy-225=0$
Infine traslo l'equazione dall'origine al centro $(3/2,-1/2)$:
$34(x-3/2)^2+34(y+1/2)^2+32(x-3/2)(y+1/2)-225=17x^2+17y^2+16xy-43x-7y-82$
Trovato il centro $(3/2,-1/2)$ e le distanze dai due vertici $a=5/sqrt(2)$ e $b=3/sqrt(2)$ scrivo l'equazione dell'ellisse canonica:
$(x^2/a^2)+(y^2/b^2)=1 rArr 18x^2+50y^2-225=0$
Ruoto i suoi punti di 45° gradi in senso orario.
$ 1/sqrt(2)( ( 1 , -1 ),( 1 , 1 ) )( ( x ),( y ) ) = ( ( (x-y)/sqrt(2) ),( (x+y)/sqrt(2) )) $
E cambio di base l'equazione nella nuova base espressa rispetto a quella canonica.
$((x-y)/sqrt(2),(x+y)/sqrt(2), 1 )( ( 18 , 0 , 0 ),( 0 , 50 , 0 ),( 0 , 0 , -225 ) ) ( ( (x-y)/sqrt(2) ),( (x+y)/sqrt(2) ), (1) )=34x^2+34y^2+32xy-225=0$
Infine traslo l'equazione dall'origine al centro $(3/2,-1/2)$:
$34(x-3/2)^2+34(y+1/2)^2+32(x-3/2)(y+1/2)-225=17x^2+17y^2+16xy-43x-7y-82$
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