Equazione differenziale del secondo ordine lineare omogenea

[lucagalbu]

Ciao a tutti!
Quando risolvo un' ODE lineare a coeffciienti costanti del tipo

$y''+\lambday=0$

ottengo come soluzione:

$Ae^{i\lambdat}+Be^{-i\lambdat}$

che posso vedere anche scritta come

$Csin[\lambdat]+Dcos[\lambdat]$

però questa ODE è l'equazione del moto armonico, la cui soluzione è:

$Ecos[\lambdat+\phi]$

che fine ha fatto il seno?? E da dove salta fuori il $\phi$?

[Lord K]

Usi le formule di prostaferesi e ti trovi ciò che cerchi.

[lucagalbu]

le formule di prostaferesi:

$sinp + sinq=2sin\frac{p+q}{2}cos\frac{p+q}{2}$

come mi aiutano? Non ho somme di seno+seno o coseno+coseno

[Lord K]

Allora, non ricordo esattamente, ma penso si proceda così: dapprima cerchi le costanti $gamma, phi_0$, tale che:

$C*sin(lambda*t) + D*cos(lambda*t) = gamma*sin(phi_0)*sin(lambda*t) + gamma*cos(phi_0)*cos(lambda*t) = gamma*cos(lambda*t-phi_0)$

ovviamente:

$C=gamma*cos(phi_0)$
$D=gamma*sin(phi_0)$

da cui (analogamente alle coordinate polari):

$gamma= sqrt(C^2+D^2)$
$phi_0 = arctg(D/C)$

P.S.Perdonami se ti ho fatto andare fuori strada con prostaferesi

[lucagalbu]

Ti ringrazio!

[alle.fabbri]

ti propongo un'altra visione. predi la tua soluzione

$y(t) = A e^{i \lambda t} + B e^{- i \lambda t}$

con A e B incognite. Per trovarli usiamo le condizioni iniziali cioè $y(0) = y_0$ e $y'(0) = v_0$ e dobbiamo risolvere

$y(0) = A + B = y_0$
$y'(0) = i \lambda A - i \lambda B = v_0$

le cui soluzioni sono

$A = \frac{1}{2} (y_0 - i \frac{v_0}{\lambda} )$
$B = \frac{1}{2} (y_0 + i \frac{v_0}{\lambda} )$

quindi

$y(t) = \frac{1}{2} (y_0 - i \frac{v_0}{\lambda} ) e^{i \lambda t} + \frac{1}{2} (y_0 + i \frac{v_0}{\lambda} ) e^{- i \lambda t}$

cioè

$y(t) = y_0 \frac{e^{i \lambda t} + e^{- i \lambda t}}{2} + \frac{v_0}{\lambda} \frac{ e^{i \lambda t} - e^{- i \lambda t}}{2 i} = y_0 cos \lambda t + \frac{v_0} {\lambda} sin \lambda t$

e adesso utilizzando la formula dell'angolo aggiunto suggerita da LordK puoi interpretare la fase iniziale e l'ampiezza dell'oscillazione in termini delle condizioni iniziali del problema.

[lucagalbu]

"alle.fabbri":
$y(t) = y_0 \frac{e^{i \lambda t} + e^{- i \lambda t}}{2} + \frac{v_0}{\lambda} \frac{ e^{i \lambda t} - e^{- i \lambda t}}{2 i} = y_0 cos \lambda t + \frac{v_0} {\lambda} sin \lambda t$

e adesso utilizzando la formula dell'angolo aggiunto suggerita da LordK puoi interpretare la fase iniziale e l'ampiezza dell'oscillazione in termini delle condizioni iniziali del problema.

Ecco, questa è un'altra cosa che non ho mai capito: quando fai questo passaggio ti sposti dal campo complesso al campo reale. Praticamente si può dire che la base delle soluzione dell'ODE è

${e^{i\lambdat},e^{-i\lambdat}}$

che può essere trasformata nella base

${cos(\lambdat), sin(\lambdat}$

lo span delle due basi è lo stesso: lo spazio delle soluzioni dell'ODE, però con la prima base sei nel campo complesso, nella seconda sei nel campo reale... che fine hanno fatto le soluzioni complesse allora?

[alle.fabbri]

Per come la vedo è una distinzione che non sussiste. Infatti per trovare una base dello spazio delle soluzioni devi risolvere l'equazione caratteristica associata e questa ammette n radici solo in campo complesso. E poi il carattere di realtà della soluzione è una cosa che puoi determinare solo dalle condizioni iniziali, sono infatti queste a fissare i valori delle costanti di integrazione che vengono quindi fissate per sistemare le cose in modo che la funzione sia reale o complessa. In quello che ho scritto prima, per esempio, non si menziona mai la natura delle condizioni iniziali quindi puoi pensare le soluzioni come oscillazioni armoniche di ampiezza complessa.

Per chiarire ulteriormente, forse, potrebbe essere utile pensare l'equazione nell'incognita z(t) = x(t) + i y(t) , otteniamo come problema di Cauchy

$ \{ ( z'' + \lambda^2 z = 0 ) , ( z(0) = z_0 " ; " z'(0) = w_0 ) :} $

questo problema si esplicita in termini della parte reale ed immaginaria di z così

$ \{ ( ( x'' + \lambda^2 x ) + i (y'' + \lambda^2 y ) = 0 ) , ( x(0) = Re(z_0) " ; " x'(0) = Re(w_0) ) , ( y(0) = Im(z_0) " ; " y'(0) = Im(w_0) ) :}$

per il principio di identità dei polinomi dovremo risolvere
$ \{ ( x'' + \lambda^2 x = 0 ) , ( x(0) = Re(z_0) " ; " x'(0) = Re(w_0) ) :} $
e
$ \{ ( y'' + \lambda^2 y = 0 ) , ( y(0) = Im(z_0) " ; " y'(0) = Im(w_0) ) :} $

Se ci concentriamo sul secondo, nel caso in cui $ Im(z_0) = Im(w_0) = 0$ avremo
$ \{ ( y'' + \lambda^2 y = 0 ) , ( y(0) = 0 " ; " y'(0) = 0 ) :} $
La cui soluzione è y(t) = 0 , in base a quanto visto nel post precedente. Per cui hai ottenuto che la tua soluzione complessa z(t) è del tipo z(t) = x(t) + i *0 che è reale. Sarebbe interessante vedere cosa succede se prendiamo $\lambda in CC$.....ma questo te lo lascio come spunto di riflessione.