Equazione di una parabola.
Ho il seguente problema: data una circonferenza di equazione X^2+Y^2=1 Z=0 trovare il luogo dei punti dello spazio che proiettano tale circonferenza in una parabola nel piano X=0. Non so da dove cominciare.
Grazie
Grazie
Risposte
sai cosa è un cilindro?
Sì e allora? Io avevo pensato a scrivere l'equazione di una proiettività.
si hai ragione, penso che devi utiilizzare un cono di vertice appartenente al piano xy,come curva direttrice utilizzi la circonferenza e tagli il cono nel piano x = 0; dovrebbe venirti una parabola ma non sono sicuro...con un cilindro verrebbe una retta
Sia $P(x,y,z) $ il generico punto del luogo richiesto e $Q(cost,sint,0) $ il generico punto della circonferenza data.
Le equazioni della retta PQ sono :
\(\displaystyle \begin{cases} X=x+\lambda(x-\cos t)\\Y=y+\lambda(y-\sin t)\\Z=z+\lambda z\end{cases} \)
L'intersezione di tale retta col piano $X=0$ è il punto :
\(\displaystyle \begin{cases}X=0\\Y=\frac{x\sin t-y \cos t}{x-\cos t}\\Z=-\frac{z\cos t}{x-\cos t}\end{cases} \)
Queste equazioni, ricavando sint e cost, si possono scrivere anche così :
\(\displaystyle \begin{cases}X=0\\\sin t =\frac{yZ-zY}{Z-z}\\\cos t=\frac{xZ}{Z-z}\end{cases} \)
Quadrando e sommando la seconda e la terza equazione di quest'ultimo sistema si hanno le equazioni :
(1)\(\displaystyle \begin{cases}X=0\\z^2Y^2-(2yz)YZ+(x^2+y^2-1)Z^2-z^2+2zZ=0\end{cases} \)
che rappresentano analiticamente la curva intersezione tra il luogo richiesto ed il piano $X=0$
Come da consegna tale curva deve essere una parabola. Il modo più semplice per soddisfare questa richiesta è di imporre che la parte quadratica, nelle incognite (Y,Z), della seconda equazione del sistema (1) abbia discriminante nullo. Ovvero sia :
$y^2z^2-z^2(x^2+y^2-1)=0$
e cioè :
$z^2(x^2-1)=0$
Quest'ultima equazione è il luogo richiesto. Essa rappresenta una superficie di quarto ordine che si spezza nel piano (doppio) :
$z=0$
e nei piani :
$x=-1, x=+1$
Le equazioni della retta PQ sono :
\(\displaystyle \begin{cases} X=x+\lambda(x-\cos t)\\Y=y+\lambda(y-\sin t)\\Z=z+\lambda z\end{cases} \)
L'intersezione di tale retta col piano $X=0$ è il punto :
\(\displaystyle \begin{cases}X=0\\Y=\frac{x\sin t-y \cos t}{x-\cos t}\\Z=-\frac{z\cos t}{x-\cos t}\end{cases} \)
Queste equazioni, ricavando sint e cost, si possono scrivere anche così :
\(\displaystyle \begin{cases}X=0\\\sin t =\frac{yZ-zY}{Z-z}\\\cos t=\frac{xZ}{Z-z}\end{cases} \)
Quadrando e sommando la seconda e la terza equazione di quest'ultimo sistema si hanno le equazioni :
(1)\(\displaystyle \begin{cases}X=0\\z^2Y^2-(2yz)YZ+(x^2+y^2-1)Z^2-z^2+2zZ=0\end{cases} \)
che rappresentano analiticamente la curva intersezione tra il luogo richiesto ed il piano $X=0$
Come da consegna tale curva deve essere una parabola. Il modo più semplice per soddisfare questa richiesta è di imporre che la parte quadratica, nelle incognite (Y,Z), della seconda equazione del sistema (1) abbia discriminante nullo. Ovvero sia :
$y^2z^2-z^2(x^2+y^2-1)=0$
e cioè :
$z^2(x^2-1)=0$
Quest'ultima equazione è il luogo richiesto. Essa rappresenta una superficie di quarto ordine che si spezza nel piano (doppio) :
$z=0$
e nei piani :
$x=-1, x=+1$
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