Equazione di un sottospazio vettoriale

[Mikepicker]

Salve a tutti,

mi sto confondendo come un cretino (permettetemelo) mentre cerco di trovare l'equazione di uno spazio vettoriale $E$ la cui base è formata dai seguenti vettori:

$((1),(1),(1),(1))$ $((2),(0),(2),(0))$ $((4),(0),(0),(0))$

Un piccolo input per favore?

Grazie


[mod="franced"]Ho modificato il titolo. Si tratta di un sottospazio vettoriale.[/mod]

[mistake89]

scrivi un generico vettore di $RR^4$ $v(x,y,z,t)$ come combinazione lineare della tua base...

[elvis3]

Suppongo che ti stia riferendo all'equazione cartesiana.
Il tuo sottospazio $E$ ha dimensione 3: è un iperpiano in $R^4$. Quindi è descritto da UNA equazione omogenea in $x_1, x_2, x_3, x_4$.
Se sei convinto di questo, il gioco è fatto.

Ora se il tuo dubbio è perché $E$ è descritto da UNA equazione omogenea, beh, prova a pensare chi sono i vettori che la verificano: sono tutti e soli quelli ortogonali al vettore dei coefficienti dell'equazione, che costituiscono proprio un sottospazio di dimensione 3 (lo spazio è euclideo).

[franced]

"Mikepicker":
$((1),(1),(1),(1))$ $((2),(0),(2),(0))$ $((4),(0),(0),(0))$

Ci sono due metodi: o usi il determinante oppure fai
Gauss.

In entrambi i casi devi lavorare con la matrice seguente:

[tex]A = \left( \begin{array}{cccc}
1 & 2 & 4 & x_1 \\
1 & 0 & 0 & x_2 \\
1 & 2 & 0 & x_3 \\
1 & 0 & 0 & x_4
\end{array} \right)[/tex]

[Mikepicker]

ok perfetto. Per trovare invece una base ortonormale devo applicare necessariamente Gram Schmidt giusto?

EDIT:

mi chiede anche di estendere la base ortonormale trovata ad una base ornonormale di $R^4$.. ho un bel pò di confusione