Equazione di un piano nello spazio
Buongiorno,
ho un problema con il seguente esercizio, vi illustro il testo e i miei procedimenti.
Si considerino i punti $ A=(1,1,1), B=(1,0,1), C=(-1,1,0)$.
(a) scrivere le equazioni della retta $r$ che contiene $A$ e $B$
(b) Dopo aver verificato che $C$ $notin$ $r$, scrivere l'equazione di un piano ( a scelta) che passa per $C$, è parallelo ad $r$ ma non contiene quest'ultimo.
[size=150]SVOLGIMENTO:[/size]
(a)
Mi trovo il vettore direttore della retta $r$:
$\vec {AB}$ $=B-A=(1-1,0-1,-1-1)=(0,-1,-2)$
e impongo il passaggio per un punto. Io ho usato il punto $A$.
L'equazione parametrica delle retta sarà:
$r:$ $\{(x=1),(y=1-t),(z=1-2t):}$
L'equazione cartesiana, invece, sarà:
$\{(x=1),(t=1-y),(z=1-2+2y):}$ $rArr$ $\{(x-1=0),(2y-z-1=0):}$
(b)
Varifico che $C$ $notin$ $r$
Lo faccio sostituendo le coordinate del punto in questione nell'equazione della retta:
$\{(-1=1),(1=1-t),(0=1-2t):}$
Si vede subito dalla prima equazione che il punto non appartiene alla retta.
Il mio problema è nella ricerca dell'equazione del piano o meglio, non tanto nel passaggio nel punto $C$, ma nel fatto che deve essere parallello ad $r$ e non contenere quest'ultimo.
Ciao e grazie
ho un problema con il seguente esercizio, vi illustro il testo e i miei procedimenti.
Si considerino i punti $ A=(1,1,1), B=(1,0,1), C=(-1,1,0)$.
(a) scrivere le equazioni della retta $r$ che contiene $A$ e $B$
(b) Dopo aver verificato che $C$ $notin$ $r$, scrivere l'equazione di un piano ( a scelta) che passa per $C$, è parallelo ad $r$ ma non contiene quest'ultimo.
[size=150]SVOLGIMENTO:[/size]
(a)
Mi trovo il vettore direttore della retta $r$:
$\vec {AB}$ $=B-A=(1-1,0-1,-1-1)=(0,-1,-2)$
e impongo il passaggio per un punto. Io ho usato il punto $A$.
L'equazione parametrica delle retta sarà:
$r:$ $\{(x=1),(y=1-t),(z=1-2t):}$
L'equazione cartesiana, invece, sarà:
$\{(x=1),(t=1-y),(z=1-2+2y):}$ $rArr$ $\{(x-1=0),(2y-z-1=0):}$
(b)
Varifico che $C$ $notin$ $r$
Lo faccio sostituendo le coordinate del punto in questione nell'equazione della retta:
$\{(-1=1),(1=1-t),(0=1-2t):}$
Si vede subito dalla prima equazione che il punto non appartiene alla retta.
Il mio problema è nella ricerca dell'equazione del piano o meglio, non tanto nel passaggio nel punto $C$, ma nel fatto che deve essere parallello ad $r$ e non contenere quest'ultimo.
Ciao e grazie
Risposte
ciao jack
il vettore direttore della retta che hai determinato è sbagliato
un vettore direttore corretto è, ad esempio, $(0,1,0)$
un piano $ax+by+cz+d=0$ è parallelo alla retta se $acdot0+bcdot1+c cdot 0=0$ cioè se $b=0$
quindi è del tipo $ax+cz+d=0$
a questo punto non ti resta che imporre che $C$ appartenga al piano e ,ad esempio,$A$ no
il vettore direttore della retta che hai determinato è sbagliato
un vettore direttore corretto è, ad esempio, $(0,1,0)$
un piano $ax+by+cz+d=0$ è parallelo alla retta se $acdot0+bcdot1+c cdot 0=0$ cioè se $b=0$
quindi è del tipo $ax+cz+d=0$
a questo punto non ti resta che imporre che $C$ appartenga al piano e ,ad esempio,$A$ no
Ciao stormy, grazie innanzitutto. Mi sono accorto che ci sta un errore nel testo che ho scritto; il punto corretto è il seguente $B=(1,0,-1)$, quindi il vettore $\vec {AB}$ $=(1-1,0-1,-1-1)=(0,-1,-2)$.
Ricordando che una retta per essere parallela ad un piano, deve avere un vettore direttore perpendicolare a tale piano, l'equazione del piano sarà: $ -2y+z-d=0$. Equazione che mi sono trovato facendo: $a*0-b-2c=0$ $rArr$ $b=-2c$.
Imponendo l'appartenza di $C$ al piano ottengo l'equazione : $-2-d=0$.
Come imposto il vincolo che stabilisce che $A$ non appartiene al piano?
Ciao e grazie
Ricordando che una retta per essere parallela ad un piano, deve avere un vettore direttore perpendicolare a tale piano, l'equazione del piano sarà: $ -2y+z-d=0$. Equazione che mi sono trovato facendo: $a*0-b-2c=0$ $rArr$ $b=-2c$.
Imponendo l'appartenza di $C$ al piano ottengo l'equazione : $-2-d=0$.
Come imposto il vincolo che stabilisce che $A$ non appartiene al piano?
Ciao e grazie
attenzione,la condizione di parallelismo ti dice che deve essere $b=-2c$ ma non ti dice niente su $a$
quindi in questa fase dell'esercizio puoi solo dire che il piano è del tipo $ax-2cy+cz+d=0$
imponendo il passaggio per $C$ hai $-a-2c+d=0$ cioè $d=a+2c$
quindi adesso sappiamo che il piano è del tipo $ax-2cy+cz+a+2c=0$
a questo punto imponiamo che $A$ non appartenga al piano cioè $a-2c+c+a+2c=2a+c ne 0$
una qualsiasi coppia di a e c che verificano la disuguaglianza va bene
quindi in questa fase dell'esercizio puoi solo dire che il piano è del tipo $ax-2cy+cz+d=0$
imponendo il passaggio per $C$ hai $-a-2c+d=0$ cioè $d=a+2c$
quindi adesso sappiamo che il piano è del tipo $ax-2cy+cz+a+2c=0$
a questo punto imponiamo che $A$ non appartenga al piano cioè $a-2c+c+a+2c=2a+c ne 0$
una qualsiasi coppia di a e c che verificano la disuguaglianza va bene
Perfetto! Quindi partendo dall'equazione che abbiamo ottenuto $ax-2by+cz+a+2b=0$ e sapendo che la retta per non appartenere al piano basta che un suo punto non ci appartenga, sostituiamo nella nostra equazione le coordinate (x,y,z) con un punto della nostra retta, ad esempio A. (come mi hai consigliato).
Quindi ottengo: $a-2b+c+a+2b$ $!=$ $0$ $=>$ $2a+c$ $!=$ $0$.
Scelgo $a=1;c=1;b=1$ ed ottengo il piano: $x-2y+z+3=0$
Quindi ottengo: $a-2b+c+a+2b$ $!=$ $0$ $=>$ $2a+c$ $!=$ $0$.
Scelgo $a=1;c=1;b=1$ ed ottengo il piano: $x-2y+z+3=0$
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