Equazione di primo grado come combinazione lineare?

[umbe14]

Buonasera a tutti. Lungi dal volere innescare un'altra lite mediatica, per le quali non ho tempo né voglia, volevo domandare alcune cose e verificare se talune intuizioni che ho avuto sono corrette. Sto preparando l'orale di matematica II concentrandomi soprattutto su algebra lineare, che è un quella che ho sbagliato. Studiando la teoria sul metodo di Cramer (e non solo), mi sono accorto di come le equazioni di primo grado somiglino molto a combinazioni lineari. Alla luce del fatto che uno spazio di dimensione $n$ è la combinazione lineare di tutti gli n vettori dello spazio stesso, mentre una retta è un sottospazio di dimensione 1 (quindi sempre esprimibile come combinazione lineare) e un piano è un sottospazio affine di dimensione $n-1$ se $n=3$, allora, mi chiedo: le equazioni lineari sono combinazioni lineari di vettori (linearmente dipendenti se l'equazione è omogenea, indipendenti se non lo è)? È un'interpretazione corretta? Chiedo perché non ho trovato riferimenti espliciti nella letteratura.
Altra cosa, sapreste consigliarmi dove trovare delle dimostrazioni come dio comanda di Cramer, Gauss e della condizione di esistenza della matrice inversa?

[umbe14]

Sì certo, intendevo in due dimensioni. Quello che hai scritto poc'anzi lo avevo scritto all'inizio del post, riportando anche il caso in cui siamo in più dimensioni e abbiamo un sottospazio per uno spazio $(n-k)$-dimensionale (con $k

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[umbe14]

Mi preme tuttavia tornare a monte: sapendo infatti che la retta è un sottospazio 1-dimensionale, dunque una combinazione lineare di un vettore, e che è espressa per mezzo di un'equazione lineare, ristrutturando in maniera più semplice ciò che ho pensato, direi che vengono qui a collimare la definizione di funzione (lineare) come relazione tra i due spazi vettoriali, trasformazione lineare, e combinazione lineare. Quello che volevo chiedere all'inizio, e che forse non era molto chiaro, è se queste interpretazioni sono corrette e se, alla luce di ciò una retta, come ad esempio $x=0$ o una qualunque equazione lineare omogenea possono essere interpretate come combinazioni lineari di vettori linearmente dipendenti, dato che la loro equazione è uguale a 0.

[Magma1]

"otta96":non necessariamente vettoriale come faceva notare Magma, in generale affine

Giusto!

[umbe14]

Eh, ma anche se è affine non è comunque una combinazione lineare di vettori? (Nelle mie dispense affine in riferimento a iperspazio è usato come sinonimo di traslato ed il sottospazio affine, o traslato, di uno spazio a dimensione $n$ è indicato come combinazione lineare di vettori così $x=x_0+v_1t_1+...+v_kt_k$ con $k

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[anto_zoolander]

Diciamo che gli spazi vettoriali possono essere spazi affini, il viceversa non è sempre vero.
Uno spazio affine solitamente consente di 'spostarsi' dall'origine mentre, gli spazi vettoriali, sono costretti a contenere l'origine(il vettore nullo) quindi c'è meno libertà di movimento.

In ogni caso che parliamo di spazi affini o di spazi vettoriali essi possono essere sempre individuati da un sistema lineare(omogeneo negli caso degli spazi vettoriali). Infatti spesso con abuso di linguaggio si usa parlare di rette, piani, ecc.. attraverso i sistemi che li definiscono.

E' chiaro che un sistema individua qualcosa ogni volta che fissi un riferimento, perché le letterine che si usano, andranno a formare le coordinate dei punti.

[otta96]

Infatti un sottospazio affine è l'insieme dei vettori che sono somma di un vettore fisso e di una combinazione lineare di altri vettori. Il concetto di combinazione lineare è meglio tenerlo distinto da quello di funzione/applicazione lineare, che sono due cose diverse, comunque è vero che se l'equazione è omogenea, allora la retta passa per l'origine, quindi è combinazione lineare di UN vettore.

[umbe14]

Grazie Anto, avevo in effetti interpretato il concetto di spazio affine (o traslato) proprio così dalla spiegazione delle dispense ($x_0$ presumo sia un punto nello spazio che quantifica lo spostamento del sottospazio)

[umbe14]

"otta96":Infatti un sottospazio affine è l'insieme dei vettori che sono somma di un vettore fisso e di una combinazione lineare di altri vettori. Il concetto di combinazione lineare è meglio tenerlo distinto da quello di funzione/applicazione lineare, che sono due cose diverse, comunque è vero che se l'equazione è omogenea, allora la retta passa per l'origine, quindi è combinazione lineare di UN vettore.

Ma applicazione e funzione lineare, a loro volta, non sono concetti diversi? Sebbene uno rientri nell'altro, che è generalizzazione?
Mentre per la retta non passante per l'origine si ha una combinazione lineare di un vettore traslata? Cioè un sottospazio 1-dimensionale affine?

[gugo82]

Segnalo un post antidiluviano in cui rispondevo ad un utente (poi bannato), che usava anch'egli il testo di Bramanti Pagani e Salsa, il quale cercava di discutere su "equazioni" e "funzioni", fornendo sue opinioni più che definizioni, al modo tanto in voga oggi nell'epoca dei social.

In particolare, ci scontravamo, allora come ora, con la pessima "definizione" di equazione data da Wikipedia e da diversi testi secondari molto usati; la stessa che ha riportato umbe più volte quando ha scritto di tali argomenti nella sezione di Analisi e che gli avevo già segnalato come poco adatta a capire le questioni che gli interessano.

Spero che una lettura del mio post gli chiarisca finalmente le idee di base.

[otta96]

"umbe":Ma applicazione e funzione lineare, a loro volta, non sono concetti diversi? Sebbene uno rientri nell'altro, che è generalizzazione?

Come ho già detto, no. Sono la stessa cosa.

Mentre per la retta non passante per l'origine si ha una combinazione lineare di un vettore traslata? Cioè un sottospazio 1-dimensionale affine?

Si.

[ot]

"gugo82":un utente (poi bannato), che usava anch'egli il testo di Bramanti Pagani e Salsa

Che ci sia qualche correlazione? [/ot]

[dissonance]

"umbe":[quote="dissonance"]Non è quella la vera definizione di "applicazione lineare". Devo proprio scappare e non mi posso dilungare qui, butta un occhio a un libro di algebra lineare, uno qualsiasi.

Volevo rispondere a Dissonance in merito alla contestazione sulla definizione che ho dato di applicazione lineare. Spulciando nel web, ho trovato che questo autorevole sito didattico, dà la medesima definizione che ho fornito io:
https://www.****.it/lezioni/algebra- ... neari.html
Come mai non la trovi corretta?[/quote]
Non sono d'accordo sull'"autorevole sito didattico" per ****, è sempre meglio leggere un buon libro.

Comunque, il problema è solo che nel mare di risposte ho fatto un po' di confusione. La definizione che non mi piace è quella di funzione lineare come "funzione in cui le variabili appaiono al primo grado". (Questo è un buon criterio pratico per riconoscere le funzioni lineari, ma solo nel caso di funzioni di \(\mathbb R^n\) in \(\mathbb R^m\), o \(\mathbb C^n\) in \(\mathbb C^m\)).

[umbe14]

In quali spazi vettoriali ciò non vale?

[umbe14]

"gugo82":Segnalo un post antidiluviano in cui rispondevo ad un utente (poi bannato), che usava anch'egli il testo di Bramanti Pagani e Salsa, il quale cercava di discutere su "equazioni" e "funzioni", fornendo sue opinioni più che definizioni, al modo tanto in voga oggi nell'epoca dei social.

In particolare, ci scontravamo, allora come ora, con la pessima "definizione" di equazione data da Wikipedia e da diversi testi secondari molto usati; la stessa che ha riportato umbe più volte quando ha scritto di tali argomenti nella sezione di Analisi e che gli avevo già segnalato come poco adatta a capire le questioni che gli interessano.

Spero che una lettura del mio post gli chiarisca finalmente le idee di base.

Quindi chi usa il B.P.S. viene bannato?
Questa sezione va bene per questi argomenti?

[umbe14]

P.S. scusa @gugo82 nell'argomento che hai linkato, affermi che la circonferenza è una funzione, ma ciò non è scorretto? Insomma, considerando che in una circonferenza abbiamo diverse ascisse, ciascuna delle quali è controimmagine di più di un elemento del codominio... Così come non è una funzione una qualunque parabola coricata.

[anto_zoolander]

@umbe

dipende: una circonferenza può anche essere individuata dall'immagine della funzione

$r(theta)=(Rcostheta,Rsintheta)$

[gugo82]

"umbe":P.S. scusa @gugo82 nell'argomento che hai linkato, affermi che la circonferenza è una funzione

Quello che cercavo di far capire all’utente (poi bannato[nota]Non certo perché usava il BPS, ma perché non aveva un comportamento consono.[/nota]) è che tutto dipende da cosa stesse intendendo con il termine “funzione”... Le funzioni vettoriali sono funzioni, ma lui non le considerava; come pure non considerava che si potesse rappresentare un oggetto non solo come grafico.

Ad ogni buon conto, ti sei concentrato sul punto meno interessante della questione.
Quello sui cui dovresti concentrarti è la definizione di equazione: la riporto qui, riscrivendola in maniera più ordinata:

Siano $X,Y$ due insiemi non vuoti, $f:X -> Y$ una funzione ed $y in Y$ un elemento fissato.
Un'equazione è il problema di determinare se esistono (ed, eventualmente, calcolare esplicitamente) dei punti \(\bar{x}\) appartenenti ad \(X\) tali che \(f(\bar{x})=y\).

Questo problema di solito si denota sinteticamente col simbolo:
\[
f(x)=y\; ,
\]
ove l'elemento \(x\) è detto incognita e gli elementi $bar(x) in X$ che la soddisfano (i.e., tali che $f(bar(x))=y$) si chiamano soluzioni dell’equazione $f(x)=y$.

Ovviamente, anche questa definizione si può migliorare (non è l’unica possibile), ma ha il pregio di mettere in luce un paio di aspetti della faccenda: 1) un’equazione è un problema, perciò va risolta; e 2) la definizione di equazione si basa sull’uso delle funzioni.

[umbe14]

"gugo82":[quote="umbe"]P.S. scusa @gugo82 nell'argomento che hai linkato, affermi che la circonferenza è una funzione

Quello che cercavo di far capire all’utente (poi bannato[nota]Non certo perché usava il BPS, ma perché non aveva un comportamento consono.[/nota]) è che tutto dipende da cosa stesse intendendo con il termine “funzione”... Le funzioni vettoriali sono funzioni, ma lui non le considerava; come pure non considerava che si potesse rappresentare un oggetto non solo come grafico.

Ad ogni buon conto, ti sei concentrato sul punto meno interessante della questione.
Quello sui cui dovresti concentrarti è la definizione di equazione: la riporto qui, riscrivendola in maniera più ordinata:

Siano $X,Y$ due insiemi non vuoti, $f:X -> Y$ una funzione ed $y in Y$ un elemento fissato.
Un'equazione è il problema di determinare se esistono (ed, eventualmente, calcolare esplicitamente) dei punti \(\bar{x}\) appartenenti ad \(X\) tali che \(f(\bar{x})=y\).

Questo problema di solito si denota sinteticamente col simbolo:
\[
f(x)=y\; ,
\]
ove l'elemento \(x\) è detto incognita e gli elementi $bar(x) in X$ che la soddisfano (i.e., tali che $f(bar(x))=y$) si chiamano soluzioni dell’equazione $f(x)=y$.

[/quote]
Ti ringrazio per gli spunti e la spiegazione. La funzione posso invece continuare a considerarla come una relazione tra due insiemi? Ovvio che so che la scelta del libro di testo non comporta certo l'espulsione: la mia era una battuta.

[gugo82]

Una funzione è quello che è.