Equazione di primo grado come combinazione lineare?
Buonasera a tutti. Lungi dal volere innescare un'altra lite mediatica, per le quali non ho tempo né voglia, volevo domandare alcune cose e verificare se talune intuizioni che ho avuto sono corrette. Sto preparando l'orale di matematica II concentrandomi soprattutto su algebra lineare, che è un quella che ho sbagliato. Studiando la teoria sul metodo di Cramer (e non solo), mi sono accorto di come le equazioni di primo grado somiglino molto a combinazioni lineari. Alla luce del fatto che uno spazio di dimensione $n$ è la combinazione lineare di tutti gli n vettori dello spazio stesso, mentre una retta è un sottospazio di dimensione 1 (quindi sempre esprimibile come combinazione lineare) e un piano è un sottospazio affine di dimensione $n-1$ se $n=3$, allora, mi chiedo: le equazioni lineari sono combinazioni lineari di vettori (linearmente dipendenti se l'equazione è omogenea, indipendenti se non lo è)? È un'interpretazione corretta? Chiedo perché non ho trovato riferimenti espliciti nella letteratura.
Altra cosa, sapreste consigliarmi dove trovare delle dimostrazioni come dio comanda di Cramer, Gauss e della condizione di esistenza della matrice inversa?
Altra cosa, sapreste consigliarmi dove trovare delle dimostrazioni come dio comanda di Cramer, Gauss e della condizione di esistenza della matrice inversa?
Risposte
È chiaro che le due nozioni sono strettamente collegate, ma il passaggio logico è piuttosto quello inverso; le combinazioni lineari sono state introdotte per mimare la struttura dei sistemi di equazioni lineari. In questo modo, tali sistemi vengono inquadrati in una teoria astratta che ne permette lo studio in modo sistematico. Precisamente, una equazione lineare è una equazione della forma
\[\tag{1}
Lx=y, \]
dove \(L\colon V\to W\) è una applicazione lineare (e quindi \(V, W\) sono spazi vettoriali), e \(y\in W\). Le soluzioni \(x\in V\) sono dei vettori che realizzano l'identità in (1). Questa definizione abbraccia in un colpo solo sia i sistemi di equazioni lineari di cui parli sia le equazioni differenziali lineari (e i sistemi di equazioni differenziali lineari).
Quanto alle dimostrazioni, libri e dispense di algebra lineare non mancano di certo. Se ne possono dare varie interpretazioni, dalle più algoritmiche alle più astratte. Sei sicuro che nel syllabus del tuo corso non sia stato indicato un libro di testo? Potresti scrivere qual è, per favore?
\[\tag{1}
Lx=y, \]
dove \(L\colon V\to W\) è una applicazione lineare (e quindi \(V, W\) sono spazi vettoriali), e \(y\in W\). Le soluzioni \(x\in V\) sono dei vettori che realizzano l'identità in (1). Questa definizione abbraccia in un colpo solo sia i sistemi di equazioni lineari di cui parli sia le equazioni differenziali lineari (e i sistemi di equazioni differenziali lineari).
Quanto alle dimostrazioni, libri e dispense di algebra lineare non mancano di certo. Se ne possono dare varie interpretazioni, dalle più algoritmiche alle più astratte. Sei sicuro che nel syllabus del tuo corso non sia stato indicato un libro di testo? Potresti scrivere qual è, per favore?
Il professore ha detto che non serve il libro di testo e bastano le sue dispense, tuttavia in queste, rimanda spesso al libro. In merito a quest'ultimo, non ricordo quale sia: controllo e faccio sapere.
Quindi, diciamo storicamente, il concetto di combinazione lineare è nato dopo per spiegare qualitativamente i sistemi lineari, espressi come matrici?
Quindi, diciamo storicamente, il concetto di combinazione lineare è nato dopo per spiegare qualitativamente i sistemi lineari, espressi come matrici?
P.s. come libro sto adoperando il Bramanti Pagani Salsa, consigliato nel mio corso di studi, ma sebbene mi soddisfi per molti argomenti, altrettanti li trovo spiegati male e molte cose restano oscure
Scusa una cosa, ho visto che hai definito equazione lineare come mappa lineare, che però è definita come una funzione tra due spazi vettoriali: in questo modo però stiamo dicendo che un'equazione lineare è una funzione, o sbaglio?
Se rileggi con più attenzione quello che ha scritto dissonance, noterai che non ha detto quello che dici. L'equazione e la funzione lineare sono cose diverse.
"otta96":
Se rileggi con più attenzione quello che ha scritto dissonance, noterai che non ha detto quello che dici. L'equazione e la funzione lineare sono cose diverse.
Giusto, chiedo scusa. Mi pareva strano infatti; è che essendo da telefono leggo tutto in piccolo piccolo e non si vede bene.
Capita anche a me spesso di non capire se leggo da telefono, comunque ti chiedo di fare una cosa: prova a spiegare a parole tue la differenza tra equazione lineare e funzione lineare per vedere se hai capito.
Comunque, visto che si parlava di riferimenti bibliografici,
http://linear.axler.net/
questo è probabilmente il libro di algebra lineare più famoso, attualmente. Non ne ho mai letto neanche mezza pagina. Sarà sicuramente facile trovarlo in pdf su internet.
A suo tempo ho studiato sul libro di Sernesi (Geometria 1), che non so se si trova in pdf ma sicuramente in biblioteca, e su quello di Serge Lang. Poi l'algebra lineare si impara continuamente perché si usa sempre.
http://linear.axler.net/
questo è probabilmente il libro di algebra lineare più famoso, attualmente. Non ne ho mai letto neanche mezza pagina. Sarà sicuramente facile trovarlo in pdf su internet.
A suo tempo ho studiato sul libro di Sernesi (Geometria 1), che non so se si trova in pdf ma sicuramente in biblioteca, e su quello di Serge Lang. Poi l'algebra lineare si impara continuamente perché si usa sempre.
"otta96":
Capita anche a me spesso di non capire se leggo da telefono, comunque ti chiedo di fare una cosa: prova a spiegare a parole tue la differenza tra equazione lineare e funzione lineare per vedere se hai capito.
Una funzione lineare è innanzitutto una funzione, dunque una relazione tra due insiemi, che associa ad elementi del primo insieme elementi del secondo, di modo che ciascun elemento del primo che ha corrispondenza nel secondo insieme sia controimmagine di non più di un elemento del secondo. Tralascio le definizioni di iniettiva, suriettiva e biunivoca, i cui concetti comunque mi sono chiari. Alla luce di ciò, una funzione lineare è una funzione in cui il massimo grado delle incognite è pari a uno. La funzione è rappresentabile per mezzo di un'equazione e corrisponde ad una retta nel piano, ad un piano nello spazio (a seconda delle variabili). La trasformazione, o mappa o applicazione, lineare è una funzione lineare tra due spazi vettoriali di uno stesso campo che che soddisfa il principio di sovrapposizione o che equivalentemente, preserva le combinazioni lineari tra i vettori dello spazio vettoriale di partenza. Un'equazione lineare è invece prima di tutto un'equazione, dunque un'uguaglianza tra due membri, verificata per determinate condizioni e in determinati insiemi numerici, che non necessariamente rappresenta una relazione tra due insiemi, caratteristica invece base per la definizione di funzione. L'equazione lineare è anch'essa di grado uno, altrimenti tra i suoi monomi vi sarebbe una proporzionalità diretta (caratteristica garantita dalla proprietà di linearità). Corretto?
"dissonance":
È chiaro che le due nozioni sono strettamente collegate, ma il passaggio logico è piuttosto quello inverso; le combinazioni lineari sono state introdotte per mimare la struttura dei sistemi di equazioni lineari. In questo modo, tali sistemi vengono inquadrati in una teoria astratta che ne permette lo studio in modo sistematico. Precisamente, una equazione lineare è una equazione della forma
\[\tag{1}
Lx=y, \]
dove \(L\colon V\to W\) è una applicazione lineare (e quindi \(V, W\) sono spazi vettoriali), e \(y\in W\). Le soluzioni \(x\in V\) sono dei vettori che realizzano l'identità in (1). Questa definizione abbraccia in un colpo solo sia i sistemi di equazioni lineari di cui parli sia le equazioni differenziali lineari (e i sistemi di equazioni differenziali lineari).
Quanto alle dimostrazioni, libri e dispense di algebra lineare non mancano di certo. Se ne possono dare varie interpretazioni, dalle più algoritmiche alle più astratte. Sei sicuro che nel syllabus del tuo corso non sia stato indicato un libro di testo? Potresti scrivere qual è, per favore?
Ora che ho riletto da computer e vedo meglio, qui intendi che la trasformazione lineare è applicata ai vettori $x_i in V$ verso lo spazio $W$ cui appartiene $y$. Ma così dicendo comunque stiamo affermando che $Lx=y$ è essa stessa trasformazione lineare, o no? Se, data una n-upla di vettori $x_i in V$, con $i$ da $1$ a $n$, per definizione una applicazione lineare è una funzione $f: V\toW$ tale per cui vale che $f(\alpha_1x_1+...+\alpha_nx_n)=\alpha_1f(x_1)+...+\alpha_n(x_n)$ (con $\alpha$ scalare $in K$, ove $K$, a sua volta è il campo cui appartengono $V$ e $W$), quello che hai scritto tu non significa forse che $y$ è l'applicazione lineare, ossia $Lx$?
Detto terra terra, una legge $f: qquad V->W$ è una relazione tra gli insiemi $V, W$ che associa a ogni elemento del dominio uno e un solo elemento del codominio, ovvero $x|->f(x)=y, qquad AA x in V$; mentre
"dissonance":
un'equazione lineare è un'equazione della forma
\[ \tag{1} Lx=y, \]
dove […] Le soluzioni \( x\in V \) sono dei vettori che realizzano l'identità in $(1)$.
Sì, va beh, la definizione che ho dato io di funzione è equivalente. Però non ho capito la tua risposta in merito a quanto aveva scritto Dissonance. Anche perché, lo ho scritto prima ma lo ribadisco poiché è ciò che mi ha fatto iniziare la riflession, nelle dispense è scritto che la retta, espressa e descritta notoriamente da un'equazione lineare, è un sottospazio di dimensione 1; sappiamo però che uno spazio di dimensione $n$ è la combinazione lineare di tutti i vettori che la compongono, mentre un qualunque sottospazio $(n-k)$-dimensionale di esso è una combinazione lineare di $n-k$ vettori dello spazio.
Non è quella la vera definizione di "applicazione lineare". Devo proprio scappare e non mi posso dilungare qui, butta un occhio a un libro di algebra lineare, uno qualsiasi.
"umbe":
Per definizione una applicazione lineare è una funzione $f: V\toW$ tale per cui vale che $f(\alpha_1x_1+...+\alpha_nx_n)=\alpha_1f(x_1)+...+\alpha_n(x_n)$ (con $\alpha$ scalare $in K$, ove $K$, a sua volta è il campo cui appartengono $V$ e $W$)
Intendi questa è sbagliata? L'ho trovata su wikipedia. Segnalerò che necessita di revisione. Guardo grazie mille.
"umbe":
Sì, va beh, la definizione che ho dato io di funzione è equivalente.
Io ho dato la definizione di funzione ([nota]Non chiedermi perché l'ho scritta perché non mi ricordo cosa avevo in mente
[/nota]), mentre tu hai scritto in parte quella di funzione lineare (mancano i quantificatori): dati due spazi vettoriali $V,W$ e considerata una generica funzione $f: qquad V->W$
$f$ è lineare se
$f(alphax+betay)=alphaf(x)+betaf(y), qquad AA x,y in V, AA alpha, beta in K$
per cui un'applicazione è non lineare se si verifica che
$EE x,y in V vv EE alpha, beta in K qquad : qquad f(alphax+betay)nealphaf(x)+betaf(y)$
"umbe":
Una funzione lineare è innanzitutto una funzione, dunque una relazione tra due insiemi, che associa ad elementi del primo insieme elementi del secondo, di modo che ciascun elemento del primo che ha corrispondenza nel secondo insieme sia controimmagine di non più di un elemento del secondo.
Qui avevo dato solo quella di funzione e, sì per funzione lineare lo ho scritto in maniera incompleta. Grazie per la correzione. Io, se noti, ho scritto così per la definizione di applicazione lineare. Ma quindi questo che hai appena riscritto è in realtà funzione lineare e non trasformazione? Perché una trasformazione lineare è per forza una funzione lineare, ma non è in generale vero anche il viceversa.
Io uso funzione, trasformazione e applicazione come sinonimi ma non so se sia effettivamente corretto 
P.S.
Qua occorre fare un po' di attenzione, perché non tutte le rette costituiscono dei sottospazi vettoriali; ad esempio l'insieme
P.S.
"umbe":
[…] la retta, espressa e descritta notoriamente da un'equazione lineare, è un sottospazio di dimensione 1;
Qua occorre fare un po' di attenzione, perché non tutte le rette costituiscono dei sottospazi vettoriali; ad esempio l'insieme
${x in RR : qquad x+1=0}$
"dissonance":
Non è quella la vera definizione di "applicazione lineare". Devo proprio scappare e non mi posso dilungare qui, butta un occhio a un libro di algebra lineare, uno qualsiasi.
Volevo rispondere a Dissonance in merito alla contestazione sulla definizione che ho dato di applicazione lineare. Spulciando nel web, ho trovato che questo autorevole sito didattico, dà la medesima definizione che ho fornito io:
https://www.****.it/lezioni/algebra- ... neari.html
Come mai non la trovi corretta?
Io non ho ben capito perché dissonance ha detto che quella non è la definizione di funzione lineare (forse intende che è una formulazione equivalente della definizione ma non è strettamente parlando la definizione che se ne dà di solito), ad ogni modo ce lo dirà lui dopo cosa intendeva. Comunque ci sono un paio di cose da chiarire: i termini funzione, applicazione, trasformazione vengono usati in matematica (quasi) sempre come sinonimi, in particolare nell'algebra lineare funzione lineare e applicazione lineare sono la stessa cosa. Comunque non è vero che
Questo è vero solo in dimensione $2$, in dimensione maggiore generica (finita) $n$ una equazione lineare definisce un sottospazio (non necessariamente vettoriale come faceva notare Magma, in generale affine) di dimensione $n-1$, detto iperpiano, mentre una retta si può scrivere come intersezione di $n-1$ iperpiani (anche se un'intersezione di $n-1$ iperpiani non è sempre una retta) o, da un punto di vista più algebrico, come le soluzioni di un sistema lineare di $n-1$ equazioni lineari.
"umbe":
la retta, espressa e descritta notoriamente da un'equazione lineare
Questo è vero solo in dimensione $2$, in dimensione maggiore generica (finita) $n$ una equazione lineare definisce un sottospazio (non necessariamente vettoriale come faceva notare Magma, in generale affine) di dimensione $n-1$, detto iperpiano, mentre una retta si può scrivere come intersezione di $n-1$ iperpiani (anche se un'intersezione di $n-1$ iperpiani non è sempre una retta) o, da un punto di vista più algebrico, come le soluzioni di un sistema lineare di $n-1$ equazioni lineari.
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